Simpson Kuralı İntegral Hesaplayıcı nedir?
Bu araç, bir f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığındaki belirli integralini bileşik Simpson kuralını kullanarak sayısal olarak yaklaşık şekilde hesaplar. Tamamen matematiksel bir yöntemdir ve her yerde geçerlidir. Hesaplayıcı, alt aralık sayısını ikiye katlayarak (2, 4, 8, 16, ... seçtiğiniz en büyük N değerine kadar) tahminini gitgide iyileştirir ve değerin nasıl yakınsadığını adım adım görmenizi sağlar.
Nasıl kullanılır?
Fonksiyonunuzu x cinsinden girin (örneğin 4/(1+x^2) veya sin(x)), alt sınır a ile üst sınır b değerlerini belirleyin ve en fazla kaç alt bölme (N) kullanılacağını seçin. Ayrıca kaç anlamlı basamak gösterileceğini de ayarlayabilirsiniz. Hem sınırlar hem de fonksiyon, pi ve e gibi sabitlerin yanı sıra sin, cos, tan, exp, ln, log10, sqrt, abs ve daha pek çok fonksiyonu kabul eder.
Formülün açıklaması
[a, b] aralığında çift sayıda n alt aralık için adım büyüklüğü \(h = (b - a) / n\) olur. \(x_i = a + i\cdot h\) düğüm noktalarıyla Simpson kuralı, uç noktaları 1, iç bölgedeki tek indisli düğümleri 4 ve iç bölgedeki çift indisli düğümleri 2 katsayısıyla ağırlıklandırır; ardından toplamı \(h/3\) ile çarpar. Yöntemin hatası \(O(h^4)\) mertebesindedir ve derecesi üç veya daha küçük olan polinomlar için tam sonuç verir.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{b - a}{N} \\ x_i &= a + i\,h \end{aligned} \right.$$
Çözümlü örnek
\(f(x) = 4/(1+x^2)\), \(a = 0\), \(b = 1\), \(n = 4\) alalım. Bu durumda \(h = 0{,}25\) olur ve düğüm değerleri 4,000000, 3,764706, 3,200000, 2,560000, 2,000000 şeklindedir. Simpson kuralını uygularsak:
$$S = (0{,}25/3)\cdot[4 + 4\cdot(3{,}764706 + 2{,}560000) + 2\cdot 3{,}200000 + 2] = 3{,}141569$$N = 64 ile tahmin π ≈ 3,14159265358979 değerine yakınsar.
Sıkça sorulan sorular
n neden çift olmalı? Simpson kuralı, üç nokta üzerinden bir parabol uydurmak için komşu alt aralıkları çiftler hâlinde ele alır; bu yüzden sayının çift olması gerekir. Burada kullanılan ikinin kuvvetleri zaten daima çifttir.
b, a'dan küçükse ne olur? Sonuç, [b, a] aralığındaki integralin işaretinin değişmiş hâlidir; formül negatif adım büyüklüğünü doğru biçimde işler.
Tekillikler için durum nedir? Eğer f(x) bir düğüm noktasında tanımsızsa (sıfıra bölme, pozitif olmayan bir sayının logaritması, negatif bir sayının karekökü), sonuç güvenilir olmaz; bu durumda hesaplayıcı yanıltıcı bir değer yerine hata bildirir.
