¿Qué es la calculadora de integración por la regla de Simpson?
Esta herramienta aproxima numéricamente la integral definida de una función \(f(x)\) en un intervalo \([a, b]\) aplicando la regla de Simpson compuesta. Se trata de matemáticas puras, por lo que es válida en cualquier lugar y contexto. La calculadora afina su estimación duplicando el número de subintervalos (2, 4, 8, 16, ... hasta un máximo \(N\) que tú elijas), de modo que puedes ver cómo el valor converge paso a paso.
Cómo utilizarla
Escribe tu función en términos de \(x\) (por ejemplo 4/(1+x^2) o sin(x)), define el límite inferior \(a\) y el límite superior \(b\), y elige el número máximo de subdivisiones \(N\). También puedes indicar cuántas cifras significativas quieres mostrar. Tanto los límites como la función admiten constantes como pi y e, además de las funciones sin, cos, tan, exp, ln, log10, sqrt, abs y muchas más.
La fórmula al detalle
Para un número par de subintervalos \(n\) en \([a, b]\), el tamaño de paso es \(h = (b - a) / n\). Con los nodos \(x_i = a + i\cdot h\), la regla de Simpson asigna peso 1 a los extremos, peso 4 a los nodos interiores de índice impar y peso 2 a los de índice par; después multiplica la suma total por \(h/3\).
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$El método tiene un error de orden \(O(h^4)\) y es exacto para polinomios de grado tres o inferior.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(f(x) = 4/(1+x^2)\), \(a = 0\), \(b = 1\), \(n = 4\). Entonces \(h = 0{,}25\) y los valores en los nodos son \(4{,}000000\), \(3{,}764706\), \(3{,}200000\), \(2{,}560000\), \(2{,}000000\). Al aplicar la regla de Simpson:
$$S = \frac{0{,}25}{3}\cdot\left[4 + 4\cdot(3{,}764706 + 2{,}560000) + 2\cdot 3{,}200000 + 2\right] = 3{,}141569$$Con \(N = 64\), la estimación converge hacia \(\pi \approx 3{,}14159265358979\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué \(n\) debe ser par? La regla de Simpson agrupa los subintervalos de dos en dos para ajustar una parábola que pase por tres puntos, de modo que su cantidad tiene que ser par. Las potencias de dos que se usan aquí siempre lo son.
¿Qué ocurre si \(b\) es menor que \(a\)? El resultado es sencillamente el opuesto de la integral en \([b, a]\); la fórmula gestiona correctamente un tamaño de paso negativo.
¿Y si hay singularidades? Si \(f(x)\) no está definida en algún nodo (división por cero, logaritmo de un número no positivo, raíz cuadrada de un negativo), el resultado deja de ser fiable; en esos casos la calculadora muestra un error en lugar de devolver un valor engañoso.
