辛普森積分計算器是什麼？
這個工具運用「複合辛普森法則」（Composite Simpson's Rule），以數值方法近似計算函數 \(f(x)\) 在區間 \([a, b]\) 上的定積分。它屬於純數學運算，放諸四海皆準，沒有地區或國家的限制。計算器會不斷將子區間數加倍（2、4、8、16……一直到你設定的上限 \(N\)）來逐步修正估計值，讓你親眼看著結果一步步收斂。
使用方法
請以 \(x\) 為變數輸入你的函數（例如 4/(1+x^2) 或 sin(x)），設定下限 \(a\) 與上限 \(b\)，再選擇子區間數的最大值 \(N\)。你也可以指定要顯示幾位有效數字。無論是積分上下限或函數本身，都接受 pi、e 等常數，以及 sin、cos、tan、exp、ln、log10、sqrt、abs 等函數。
公式說明
當 \([a, b]\) 上的子區間數 \(n\) 為偶數時，步長為 \(h = (b - a) / n\)。以節點 \(x_i = a + i\cdot h\) 計算，辛普森法則會把兩端點的權重設為 1、內部奇數索引節點設為 4、內部偶數索引節點設為 2，最後再把總和乘上 \(h/3\)。 $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \dfrac{b - a}{N} \\ x_i &= a + i\,h \end{aligned} \right.$$ 此方法的誤差為 \(O(h^4)\)，對於三次以下（含三次）的多項式可得到精確結果。
實例演算
以 \(f(x) = 4/(1+x^2)\)、\(a = 0\)、\(b = 1\)、\(n = 4\) 為例。此時 \(h = 0.25\)，各節點值依序為 4.000000、3.764706、3.200000、2.560000、2.000000。套用辛普森法則： $$S = \frac{0.25}{3}\cdot\left[4 + 4\cdot(3.764706 + 2.560000) + 2\cdot 3.200000 + 2\right] = 3.141569$$ 當 \(N = 64\) 時，估計值便收斂至 \(\pi \approx 3.14159265358979\)。
常見問題
為什麼 \(n\) 一定要是偶數？辛普森法則會把相鄰的兩個子區間配成一組，用一條拋物線穿過三個點，因此子區間數必須是偶數。本計算器使用的是 2 的次方，必然都是偶數。
如果 \(b\) 小於 \(a\) 怎麼辦？結果只會是 \([b, a]\) 上積分值的負數；公式能正確處理負的步長，無須擔心。
遇到奇異點（不連續或無定義）怎麼辦？若 \(f(x)\) 在某個節點上無定義（例如除以零、取非正數的對數、對負數開根號），結果就會失去可靠性。此時計算器會直接回報錯誤訊息，而不是給你一個誤導性的數字。
