什么是辛普森法则积分计算器？
这个工具利用复合辛普森法则（Simpson's rule），对函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的定积分进行数值近似。它属于纯数学方法，适用于任何场景、不受国家或地区限制。计算器会不断把子区间数量翻倍（2、4、8、16……直到你设定的最大值 \(N\)），逐步细化估计值，让你直观地看到结果如何收敛。
如何使用
请用 \(x\) 表示你的函数（例如 4/(1+x^2) 或 sin(x)），设定积分下限 \(a\) 与上限 \(b\)，再选择最大子区间数 \(N\)。你还可以指定结果显示的有效数字位数。无论是积分上下限还是函数表达式，都支持 pi、e 等常数，以及 sin、cos、tan、exp、ln、log10、sqrt、abs 等多种函数。
公式解析
当区间 \([a, b]\) 被分成偶数个子区间 \(n\) 时，步长为 \(h = (b - a) / n\)。各节点记为 \(x_i = a + i \cdot h\)。辛普森法则给两端点赋权 1，给内部奇数下标节点赋权 4，给内部偶数下标节点赋权 2，最后将总和乘以 \(h/3\)。该方法的误差量级为 \(O(h^4)\)，对次数不超过三次的多项式可得到精确结果。
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[ f(x_0) + 4\sum_{i\,\text{odd}} f(x_i) + 2\sum_{i\,\text{even}} f(x_i) + f(x_N) \right]$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} h &= \frac{b - a}{N} \\ x_i &= a + i\,h \end{aligned} \right.$$
实例演算
取 \(f(x) = 4/(1+x^2)\)，\(a = 0\)，\(b = 1\)，\(n = 4\)。此时 \(h = 0.25\)，各节点函数值依次为 4.000000、3.764706、3.200000、2.560000、2.000000。代入辛普森法则：
$$S = \frac{0.25}{3}\cdot\left[4 + 4\cdot(3.764706 + 2.560000) + 2\cdot 3.200000 + 2\right] = 3.141569$$当 \(N = 64\) 时，估计值收敛到 \(\pi \approx 3.14159265358979\)。
常见问题
为什么 \(n\) 必须是偶数？辛普森法则会把相邻的两个子区间配对，用一条抛物线穿过三个点来拟合，因此子区间数量必须为偶数。这里使用的 2 的幂次本身就都是偶数。
如果 \(b\) 小于 \(a\) 怎么办？结果就是在 \([b, a]\) 上积分值的相反数；公式能够正确处理负的步长，无需额外操作。
遇到奇点（无定义点）怎么办？如果 \(f(x)\) 在某个节点上没有定义（例如除以零、对非正数取对数、对负数开平方），结果将不再可靠。此时计算器会直接报错，而不是给出一个具有误导性的数字。
