这个计算器能做什么
本工具采用复合梯形法则，近似计算函数 \(f(x)\) 在有限区间 \([a, b]\) 上的定积分。它适用于任意解析、非周期的被积函数，属于通用数学方法——计算结果与单位、货币或国家/地区均无关。你只需提供函数表达式、积分下限与上限，以及最大子区间数；计算器会通过不断将细分数翻倍来逐步细化估算值，并展示逐渐收敛的数列。
使用方法
请用 x 来书写你的函数表达式——支持四则运算符 + - * /、幂运算（^ 或 **），以及 sin、cos、tan、exp、log（自然对数）、ln、sqrt、abs 等函数，还有常数 pi 和 e。输入上下限 \(a\) 与 \(b\)（可为任意实数；若 \(a > b\)，符号会自动处理）。选择最大子区间数 \(N\)（从 32 到 2048 的 2 的幂次）。最终给出的结果 \(S\) 即为在最大 \(N\) 处的梯形法则计算值。
公式详解
把 \([a, b]\) 等分为 \(n\) 个宽度均为 \(h = (b - a) / n\) 的小段。梯形法则在每一小段上用直线代替曲线，再把这些梯形的面积加起来：
$$S(n) = \frac{h}{2} \cdot \left[ f(a) + 2\cdot\left(f(a+h) + f(a+2h) + \cdots + f(a+(n-1)h)\right) + f(b) \right]$$两个端点各计权一次，而所有内部节点都计权两次。误差按 \(O(h^2)\) 量级缩小，因此对光滑函数而言，\(n\) 翻倍可使误差大致降为原来的四分之一。
实例演示
取 \(f(x) = \dfrac{4}{1+x^2}\)，区间为 \([0, 1]\)，其精确值正是 \(\pi\)。当 \(n = 2\) 时，\(h = 0.5\)：\(f(0)=4\)，\(f(0.5)=3.2\)，\(f(1)=2\)，于是 $$S = 0.25\cdot(4 + 2\cdot3.2 + 2) = 3.1$$当 \(n = 4\) 时结果为 \(3.131176\)，\(n = 8\) 时为 \(3.138988\)，到 \(n = 64\) 时约为 \(3.141552\)——逐步逼近 \(\pi = 3.14159265\ldots\)
常见问题
为什么我的结果略有偏差？梯形法则本身就是一种近似方法。增大 \(N\) 可提高精度；收敛表格能直观展示结果收敛的快慢。
能否对周期函数或带奇点的函数积分？该方法假定被积函数光滑且非周期。如果在端点或区间内部存在奇点，结果可能错误或无法定义——这时请改用专门的积分方法。
如果 \(a\) 等于 \(b\) 会怎样？在宽度为零的区间上积分结果为 0，计算器会直接返回该值。
