這個計算機的功能
本工具使用複合梯形法則，近似計算函數 \(f(x)\) 在有限區間 \([a, b]\) 上的定積分。它適用於任何解析、非週期性的被積函數，屬於通用的數學運算──計算結果不受單位、貨幣或國別影響。您只需提供函數、積分下限與上限，以及最大子區間數，計算機便會透過反覆將分割數加倍來精化估計值，並完整呈現逐步收斂的數列。
使用方式
請以 x 為變數輸入您的函數──支援的運算子有 + - * /、次方（^ 或 **），以及 sin、cos、tan、exp、log（自然對數）、ln、sqrt、abs 等函數，另可使用常數 pi 與 e。接著輸入積分上下限 \(a\) 與 \(b\)（可為任意實數；若 \(a > b\)，正負號會自動處理）。再選擇最大子區間數 \(N\)（從 32 到 2048 之間、為 2 的冪次的數值）。最終回報的答案 \(S\)，即為在最大 \(N\) 值下所得的梯形法則估計值。
公式說明
將 \([a, b]\) 平均分成 \(n\) 等份，每份寬度為 \(h = (b - a) / n\)。梯形法則以一條直線取代每一小段上的曲線，再把所形成的各個梯形面積加總：
$$S(n) = \frac{h}{2}\left[ f(a) + 2\bigl(f(a+h) + f(a+2h) + \cdots + f(a+(n-1)h)\bigr) + f(b) \right]$$兩端點各計一次權重，而所有內部節點則計兩次。誤差約以 \(O(h^2)\) 的速度縮小，因此對於平滑函數而言，將 \(n\) 加倍可使誤差大致降為原來的四分之一。
範例演算
以 \(f(x) = 4/(1+x^2)\) 在 \([0, 1]\) 上為例，其精確值為 \(\pi\)。當 \(n = 2\)、\(h = 0.5\) 時：\(f(0)=4\)、\(f(0.5)=3.2\)、\(f(1)=2\)，故 $$S = 0.25\cdot(4 + 2\cdot 3.2 + 2) = 3.1$$當 \(n = 4\) 時可得 \(3.131176\)，\(n = 8\) 時為 \(3.138988\)，到了 \(n = 64\) 時數值約為 \(3.141552\)──逐步逼近 \(\pi = 3.14159265\ldots\)
常見問題
為什麼我的結果略有偏差？梯形法則本質上是一種近似計算。提高 \(N\) 可獲得更高的精確度；收斂表會清楚顯示數值收斂的速度。
我可以對週期性或具奇異點的函數積分嗎？本方法假設被積函數為平滑且非週期性。若在端點或內部存在奇異點，結果可能出現錯誤或無法定義──此時請改用專門的數值方法。
如果 \(a\) 等於 \(b\) 會怎樣？區間寬度為零時，積分值為 0，計算機會直接回傳此結果。
