什麼是高斯-克朗羅德數值積分計算器？
這個工具運用高斯型求積法（Gaussian quadrature），計算函數 \(f(x)\) 在有限區間 \([a, b]\) 上的定積分。它會在精心挑選的節點上計算被積函數的值，乘以事先算好的權重後加總起來。接著，計算器會將高階估計值 \(K\) 與低階的高斯-勒讓德（Gauss-Legendre）估計值 \(G\) 互相比較，得出誤差界 \(|K - G|\)，讓你對結果的準確度更有把握。
如何使用
輸入一個以 \(x\) 為變數的數學式（例如 4/(1+x^2) 或 sin(x)），設定積分下限 \(a\) 與上限 \(b\)，再選擇求積規則使用的節點數 \(n\)（奇數，範圍 3 到 99）。對於平滑的被積函數，節點越多，精度越高。支援的語法包括 + - * / ^、括號，以及 sin、cos、tan、asin、acos、atan、exp、ln、log、sqrt、abs、sinh、cosh、tanh，另外還有常數 pi 與 e。
計算公式
求積規則是定義在 \([-1, 1]\) 上，以被積函數值的加權總和來表示。若要對 \([a, b]\) 積分，需做一次仿射變數變換：\(x(t) = (b-a)/2 \cdot t + (a+b)/2\)，其中 \(dx = (b-a)/2 \cdot dt\)。因此，積分值等於 \((b-a)/2\) 乘以各權重 \(w_i\) 與映射後節點處 \(f\) 值乘積的總和。$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$高斯-勒讓德節點即勒讓德多項式的根，本計算器以牛頓法（Newton's method）求得，權重為 \(w_i = 2 / ((1 - t_i^2) \cdot P'_m(t_i)^2)\)。
實例演算
以 \(f(x) = \sin(x)\) 在 \([0, \pi]\) 為例，精確積分為 $$[-\cos(x)]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2$$計算器會回傳約等於 2 的結果，估計誤差極小。同樣地，\(f(x) = 4/(1+x^2)\) 在 \([0, 1]\) 上會回傳 \(\pi = 3.14159265\)，因為 \(4\cdot\arctan(1) = \pi\)。
常見問題
為什麼 \(n\) 必須是奇數？內嵌的高斯-克朗羅德配對會重複使用 \(m = (n-1)/2\) 個高斯節點，因此節點總數必須為奇數。
誤差估計代表什麼？它是高階與低階估計值之間的絕對差；數值越小，表示收斂得越好。
遇到奇異點怎麼辦？可積的端點奇異性會降低精度。計算過程會略過非有限的數值，而當 \(a = b\) 時則直接回傳 0。
