Qu'est-ce que le calculateur d'intégration numérique de Gauss-Kronrod ?
Cet outil calcule l'intégrale définie d'une fonction f(x) sur un intervalle fini [a, b] à l'aide d'une quadrature de type gaussien. Il évalue l'intégrande en des nœuds judicieusement choisis, multiplie chaque valeur par un poids précalculé, puis additionne les contributions. Une estimation d'ordre supérieur K est ensuite comparée à une estimation de Gauss-Legendre d'ordre inférieur G afin de produire une borne d'erreur \(|K - G|\), qui vous donne une mesure de confiance dans le résultat.
Comment l'utiliser
Saisissez une expression mathématique en x (par exemple 4/(1+x^2) ou sin(x)), définissez la borne inférieure a et la borne supérieure b, puis choisissez le nombre de points n de la règle (impair, de 3 à 99). Plus le nombre de points est élevé, plus la précision est grande pour les intégrandes régulières. La syntaxe acceptée comprend + - * / ^, les parenthèses, ainsi que sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, sinh, cosh, tanh, et les constantes pi et e.
La formule
Les règles de quadrature sont définies sur [−1, 1] comme une somme pondérée des valeurs de l'intégrande. Pour intégrer sur [a, b], on applique un changement de variable affine : \(x(t) = \frac{b-a}{2}\cdot t + \frac{a+b}{2}\) avec \(dx = \frac{b-a}{2}\cdot dt\). L'intégrale est donc égale à \(\frac{b-a}{2}\) multiplié par la somme des poids \(w_i\) multipliés par f évaluée aux nœuds transformés.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$Les nœuds de Gauss-Legendre sont les racines du polynôme de Legendre, déterminées ici par la méthode de Newton, avec les poids \(w_i = \frac{2}{(1 - t_i^2)\cdot P'_m(t_i)^2}\).
Exemple détaillé
Pour \(f(x) = \sin(x)\) sur [0, pi], l'intégrale exacte vaut \([-\cos(x)]\) de 0 à pi \(= -\cos(\pi) + \cos(0) = 1 + 1 = 2\). Le calculateur renvoie environ 2 avec une erreur estimée infime. De même, \(f(x) = \frac{4}{1+x^2}\) sur [0, 1] renvoie \(\pi = 3{,}14159265\), puisque \(4 \cdot \arctan(1) = \pi\).
FAQ
Pourquoi n doit-il être impair ? Le couple intégré de Gauss-Kronrod réutilise \(m = \frac{n-1}{2}\) nœuds de Gauss, ce qui impose un nombre total de nœuds impair.
Que signifie l'estimation de l'erreur ? Il s'agit de l'écart absolu entre les estimations d'ordre supérieur et d'ordre inférieur ; une faible valeur indique une bonne convergence.
Et les singularités ? Les singularités intégrables aux bornes réduisent la précision. Les évaluations non finies sont ignorées, et le cas a = b renvoie exactement 0.
