Qu'est-ce que la loi log-normale hybride ?
La loi log-normale hybride, notée \(\text{HybLogN}(\rho x, \mu, \sigma)\), est une loi de probabilité dans laquelle la variable transformée \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) suit une loi normale d'espérance \(\mu\) et d'écart-type \(\sigma\). Elle combine un terme de loi normale (\(\rho x\)) avec un terme de loi log-normale (\(\ln(\rho x)\)). Le paramètre d'intensité \(\rho > 0\) met à l'échelle la variable sous-jacente. À cause du logarithme, la loi n'est définie que pour \(x > 0\). Il s'agit d'un objet purement mathématique, universel, qui s'applique de façon identique partout.
Comment utiliser ce calculateur
Choisissez la fonction à tabuler — la densité de probabilité f, la probabilité cumulée inférieure P ou la probabilité cumulée supérieure Q. Saisissez le paramètre d'intensité \(\rho\), l'espérance \(\mu\) et l'écart-type \(\sigma\). Indiquez ensuite la valeur initiale de x, le pas et le nombre de lignes. L'outil évalue la fonction choisie en \(x = x_0,\ x_0+\text{pas},\ x_0+2\cdot\text{pas},\ \ldots\) et affiche chaque couple (x, valeur), ainsi que la médiane \(x_c\).
La formule expliquée
Posons \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) et \(z = (y(x) - \mu) / \sigma\). La densité vaut
$$f(x) = \frac{\rho}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right) e^{-\frac{1}{2} z^{2}}$$Le facteur \(\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right)\) correspond au jacobien \(dy/dx\) divisé par \(\rho\). Comme \(y\) croît strictement avec \(x\) et parcourt l'intervalle de \(-\infty\) à \(+\infty\), la probabilité cumulée inférieure se réduit à \(P(x) = \Phi(z)\), où \(\Phi\) désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite,
$$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$La cumulée supérieure est \(Q(x) = 1 - P(x) = \Phi(-z)\).
Exemple détaillé
Avec \(\rho=1\), \(\mu=0\), \(\sigma=1\) en \(x=1\) : \(y = 1 + \ln(1) = 1\), donc \(z = 1\). La densité \(f = 0{,}3989423 \cdot (1+1) \cdot \exp(-0{,}5) = 0{,}3989423 \cdot 2 \cdot 0{,}6065307 \approx 0{,}4839\). La cumulée inférieure \(P = \Phi(1) \approx 0{,}8413\), et la cumulée supérieure \(Q \approx 0{,}1587\).
FAQ
Pourquoi x doit-il être positif ? Le terme \(\ln(\rho x)\) n'est pas défini pour \(\rho x \le 0\). En \(x = 0\), la densité est prise égale à 0, avec \(P = 0\) et \(Q = 1\) comme valeurs limites.
Qu'est-ce que la médiane ? La médiane \(x_c\) est la solution de \(\rho x_c + \ln(\rho x_c) = \mu\). On résout numériquement pour \(\rho x_c\), puis on divise par \(\rho\).
Quelle est la précision de la probabilité cumulée ? \(\Phi\) s'appuie sur l'approximation de erf d'Abramowitz-Stegun (formule 7.1.26), précise à environ \(1{,}5\times10^{-7}\) près.
