हाइब्रिड लॉगनॉर्मल वितरण क्या है?
हाइब्रिड लॉगनॉर्मल वितरण, जिसे \(\text{HybLogN}(\rho x, \mu, \sigma)\) के रूप में लिखा जाता है, एक प्रायिकता वितरण है जिसमें रूपांतरित चर \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) सामान्य रूप से (नॉर्मल) वितरित होता है, जिसका माध्य \(\mu\) और मानक विचलन \(\sigma\) होता है। यह एक नॉर्मल-वितरण पद (\(\rho x\)) को एक लॉगनॉर्मल-वितरण पद (\(\ln(\rho x)\)) के साथ मिलाता है। तीव्रता प्राचल \(\rho > 0\) अंतर्निहित चर को मापता (स्केल) है। लघुगणक के कारण यह वितरण केवल \(x > 0\) के लिए ही परिभाषित होता है। यह शुद्ध गणित का एक सार्वभौमिक नियम है और हर जगह एक समान रूप से लागू होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले चुनें कि किस फलन की सारणी बनानी है — प्रायिकता घनत्व \(f\), निम्न संचयी प्रायिकता \(P\), या उच्च संचयी प्रायिकता \(Q\)। फिर तीव्रता प्राचल \(\rho\), माध्य \(\mu\), और मानक विचलन \(\sigma\) दर्ज करें। इसके बाद आरंभिक \(x\), चरण का आकार (स्टेप), और पंक्तियों की संख्या निर्धारित करें। यह टूल चुने हुए फलन का मान \(x = x_0,\ x_0+\text{step},\ x_0+2\cdot\text{step},\ \ldots\) पर निकालता है और हर \((x, \text{मान})\) जोड़े को सूचीबद्ध करता है, साथ ही माध्यिका \(x_c\) भी देता है।
सूत्र की व्याख्या
मान लीजिए \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) और \(z = (y(x) - \mu) / \sigma\)। घनत्व इस प्रकार है:
$$f(x) = \frac{\rho}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right) e^{-\frac{1}{2} z^{2}}$$गुणक \(\left(1 + \dfrac{1}{\rho x}\right)\) वास्तव में जैकोबियन \(dy/dx\) को \(\rho\) से विभाजित करने पर मिलता है। चूँकि \(y\), \(x\) के साथ कड़ाई से बढ़ता है और \(-\infty\) से \(+\infty\) तक जाता है, इसलिए निम्न संचयी प्रायिकता बस \(P(x) = \Phi(z)\) होती है, जहाँ \(\Phi\) मानक नॉर्मल CDF है, \(\Phi(z) = \frac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2})\right)\)। उच्च संचयी प्रायिकता \(Q(x) = 1 - P(x) = \Phi(-z)\) होती है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(\rho=1,\ \mu=0,\ \sigma=1\) के साथ \(x=1\) पर: \(y = 1 + \ln(1) = 1\), अतः \(z = 1\)। घनत्व $$f = 0.3989423 \cdot (1+1) \cdot \exp(-0.5) = 0.3989423 \cdot 2 \cdot 0.6065307 \approx 0.4839.$$ निम्न संचयी \(P = \Phi(1) \approx 0.8413\), और उच्च संचयी \(Q \approx 0.1587\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(x\) का धनात्मक होना ज़रूरी क्यों है? \(\rho x \le 0\) के लिए पद \(\ln(\rho x)\) अपरिभाषित होता है। \(x = 0\) पर घनत्व को \(0\) माना जाता है, और सीमा मानों के रूप में \(P = 0\) तथा \(Q = 1\) लिए जाते हैं।
माध्यिका क्या है? माध्यिका \(x_c\) समीकरण \(\rho x_c + \ln(\rho x_c) = \mu\) को संतुष्ट करती है। हम संख्यात्मक रूप से \(\rho x_c\) हल करते हैं और फिर उसे \(\rho\) से विभाजित कर देते हैं।
संचयी प्रायिकता कितनी सटीक है? \(\Phi\) में Abramowitz-Stegun 7.1.26 erf सन्निकटन का उपयोग होता है, जो लगभग \(1.5\times10^{-7}\) तक सटीक है।
