Что такое гибридное логнормальное распределение?
Гибридное логнормальное распределение, обозначаемое HybLogN(ρx, μ, σ), — это распределение вероятностей, в котором преобразованная величина \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) подчиняется нормальному закону со средним \(\mu\) и стандартным отклонением \(\sigma\). Оно объединяет в себе слагаемое нормального распределения (\(\rho x\)) и слагаемое логнормального распределения (\(\ln(\rho x)\)). Параметр силы \(\rho > 0\) масштабирует исходную переменную. Из-за логарифма распределение определено только при \(x > 0\). Это универсальный результат чистой математики, который одинаково применим в любой области.
Как пользоваться калькулятором
Выберите функцию для табулирования — плотность вероятности f, нижнюю интегральную вероятность P или верхнюю интегральную вероятность Q. Введите параметр силы \(\rho\), среднее \(\mu\) и стандартное отклонение \(\sigma\). Затем задайте начальное значение x, шаг и число строк. Калькулятор вычислит выбранную функцию в точках x = x0, x0+шаг, x0+2·шаг, … и выведет все пары (x, значение), а также медиану xc.
Разбор формулы
Пусть \(y(x) = \rho x + \ln(\rho x)\) и \(z = (y(x) - \mu) / \sigma\). Тогда плотность равна
$$f(x) = \frac{\rho}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right) e^{-\frac{1}{2} z^{2}}$$Множитель \(\left(1 + \frac{1}{\rho x}\right)\) — это якобиан \(dy/dx\), делённый на \(\rho\). Поскольку \(y\) строго возрастает вместе с \(x\) и пробегает значения от \(-\infty\) до \(+\infty\), нижняя интегральная вероятность записывается просто как
$$P(x) = \Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$где \(\Phi\) — функция распределения стандартного нормального закона. Верхняя интегральная вероятность равна
$$Q(x) = 1 - P(x) = \Phi(-z) = \frac{1}{2}\left[1 - \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$
Разбор примера
Возьмём \(\rho=1\), \(\mu=0\), \(\sigma=1\) при \(x=1\): \(y = 1 + \ln(1) = 1\), поэтому \(z = 1\). Плотность \(f = 0{,}3989423 \cdot (1+1) \cdot \exp(-0{,}5) = 0{,}3989423 \cdot 2 \cdot 0{,}6065307 \approx 0{,}4839\). Нижняя интегральная вероятность \(P = \Phi(1) \approx 0{,}8413\), а верхняя \(Q \approx 0{,}1587\).
Частые вопросы
Почему x должно быть положительным? Слагаемое \(\ln(\rho x)\) не определено при \(\rho x \le 0\). В точке \(x = 0\) плотность принимается равной 0, при этом в качестве предельных значений берутся \(P = 0\) и \(Q = 1\).
Что такое медиана? Медиана xc является решением уравнения \(\rho x_c + \ln(\rho x_c) = \mu\). Мы находим \(\rho x_c\) численно и делим на \(\rho\).
Насколько точна интегральная вероятность? Функция \(\Phi\) использует приближение для erf из справочника Абрамовица—Стиган (формула 7.1.26) с точностью около \(1{,}5\times 10^{-7}\).
