Что делает этот калькулятор
Логнормальное распределение описывает положительную случайную величину, натуральный логарифм которой подчиняется нормальному закону. Если ln(x) распределён нормально со средним μ и стандартным отклонением σ, то сама величина x имеет логнормальное распределение. Калькулятор вычисляет одну из трёх функций на выбранном диапазоне значений x и выдаёт таблицу, которую удобно прочитать или построить в виде графика: плотность вероятности f(x), нижнюю кумулятивную вероятность P(x) (функцию распределения) или верхнюю кумулятивную вероятность \(Q(x) = 1 - P(x)\).
Как пользоваться
Выберите функцию для построения, затем введите среднее μ и стандартное отклонение σ величины ln(x). Задайте начальное значение x, шаг между соседними значениями x и количество точек. Калькулятор вычисляет функцию в точках \(x_i = \text{начальное\_x} + i \times \text{шаг}\) для \(i = 0, 1, \ldots, \text{количество}-1\) и сводит каждую пару (x, значение) в таблицу. Сигма должна быть положительной, а x — неотрицательным; при x = 0 плотность и нижняя кумулятивная вероятность равны 0, а верхняя кумулятивная вероятность равна 1.
Разбор формулы
Плотность задаётся выражением $$f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{\left(\ln x - \mu\right)^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right),\quad x>0$$ Кумулятивная вероятность равна $$P(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ где \(\Phi\) — функция распределения стандартного нормального закона, \(\Phi(z) = \frac{1}{2}(1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2}))\). Верхняя кумулятивная вероятность (функция выживания) составляет $$Q(x) = 1 - \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ Для расчёта erf применяется высокоточная рациональная аппроксимация (максимальная погрешность порядка \(1{,}5\times10^{-7}\)).
Пример расчёта
Пусть μ = 0, σ = 1 и x = 1: тогда \(z = (\ln 1 - 0)/1 = 0\). Плотность $$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}39894228$$ Нижняя кумулятивная вероятность \(P = \Phi(0) = 0{,}5\). Верхняя кумулятивная вероятность \(Q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). При x = 2: \(z = \ln 2 \approx 0{,}6931\), откуда \(f \approx 0{,}156874\), \(P \approx 0{,}75568\) и \(Q \approx 0{,}24432\).
Частые вопросы
Являются ли μ и σ средним и СКО самой величины x? Нет — это среднее и стандартное отклонение величины ln(x), то есть лежащей в основе нормальной величины, а не самого x.
Что происходит при x = 0? Логнормальное распределение определено только для x > 0, поэтому, чтобы избежать ln(0), мы полагаем \(f(0) = 0\), \(P(0) = 0\) и \(Q(0) = 1\).
Почему σ обязательно должна быть положительной? Нулевое или отрицательное стандартное отклонение не задаёт осмысленного распределения и приводит к делению на ноль, поэтому калькулятор отклоняет значения \(\sigma \le 0\).
