Qué hace esta calculadora
La distribución lognormal describe una variable aleatoria positiva cuyo logaritmo natural sigue una distribución normal. Es decir, si ln(x) se distribuye normalmente con media μ y desviación típica σ, entonces x tiene una distribución lognormal. Esta herramienta evalúa una de tres funciones a lo largo del rango de valores de x que elijas y te devuelve una tabla lista para leer o representar gráficamente: la densidad de probabilidad f(x), la probabilidad acumulada inferior P(x) (la función de distribución acumulada) o la probabilidad acumulada superior Q(x) = 1 − P(x).
Cómo usarla
Elige la función que quieres representar y, a continuación, introduce la media μ y la desviación típica σ de ln(x). Indica el valor inicial de x, el paso (incremento) entre valores sucesivos y el número de puntos. La calculadora evalúa la función en \(x_i = x_{\text{inicial}} + i \times \text{paso}\) para \(i = 0, 1, \ldots, n-1\) y tabula cada par (x, valor). La sigma debe ser positiva y x no puede ser negativa; cuando x = 0, la densidad y la acumulada inferior valen 0, mientras que la acumulada superior vale 1.
La fórmula al detalle
La densidad es $$f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{\left(\ln x - \mu\right)^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right),\quad x>0$$ La probabilidad acumulada es $$P(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ donde \(\Phi\) es la función de distribución acumulada de la normal estándar, \(\Phi(z) = \frac{1}{2}(1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2}))\). La acumulada superior (función de supervivencia) es $$Q(x) = 1 - \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ Empleamos una aproximación racional de alta precisión de la función erf (con un error máximo en torno a \(1{,}5\times10^{-7}\)).
Ejemplo resuelto
Con μ = 0 y σ = 1 en x = 1: \(z = (\ln 1 - 0)/1 = 0\). Densidad \(= 1/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}39894228\). Acumulada inferior \(P = \Phi(0) = 0{,}5\). Acumulada superior \(Q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). En x = 2: \(z = \ln 2 \approx 0{,}6931\), lo que da \(f \approx 0{,}156874\), \(P \approx 0{,}75568\) y \(Q \approx 0{,}24432\).
Preguntas frecuentes
¿Son μ y σ la media y la desviación típica de x? No: son la media y la desviación típica de ln(x), la variable normal subyacente, y no de x en sí.
¿Qué ocurre en x = 0? La lognormal solo está definida para x > 0, así que fijamos \(f(0) = 0\), \(P(0) = 0\) y \(Q(0) = 1\) para evitar calcular ln(0).
¿Por qué σ tiene que ser positiva? Una desviación típica igual o menor que cero no define ninguna distribución válida y provocaría una división por cero, por lo que la calculadora rechaza cualquier valor \(\sigma \le 0\).
