이 계산기로 할 수 있는 일
로그정규분포는 자연로그를 취했을 때 정규분포를 따르는 양수 확률변수를 설명하는 분포입니다. 즉 ln(x)가 평균 μ, 표준편차 σ인 정규분포를 따른다면, x는 로그정규분포를 따릅니다. 이 계산기는 원하는 x 범위에 대해 세 가지 함수 중 하나를 계산해, 그대로 읽거나 그래프로 그릴 수 있는 표로 보여줍니다. 세 함수는 확률밀도 \(f(x)\), 하측 누적확률 \(P(x)\)(누적분포함수, CDF), 그리고 상측 누적확률 \(Q(x) = 1 - P(x)\)입니다.
사용 방법
먼저 그릴 함수를 고른 뒤, ln(x)의 평균 \(\mu\)와 표준편차 \(\sigma\)를 입력합니다. 이어서 계산을 시작할 x 값(x의 초깃값), 연속된 x 값 사이의 간격(Step), 점의 개수를 지정하세요. 계산기는 \(i = 0, 1, \ldots, \text{count}-1\)에 대해 \(x_i = \text{초깃값} + i \times \text{간격}\) 으로 각 지점의 함수값을 구하고, (x, 값) 쌍을 표로 정리합니다. 시그마는 0보다 커야 하며 x는 0 이상이어야 합니다. x = 0에서는 밀도와 하측 누적확률이 0, 상측 누적확률이 1이 됩니다.
공식 풀이
확률밀도는 $$f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{\left(\ln x - \mu\right)^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right),\quad x>0$$ 입니다. 누적확률은 $$P(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$로, 여기서 \(\Phi\)는 표준정규분포의 CDF이며 \(\Phi(z) = \frac{1}{2}(1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2}))\) 입니다. 상측 누적확률(생존함수)은 $$Q(x) = 1 - \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$ 입니다. erf 계산에는 고정밀 유리식 근사(최대 오차 약 \(1.5\times10^{-7}\))를 사용합니다.
계산 예시
\(\mu = 0\), \(\sigma = 1\), \(x = 1\)인 경우: \(z = (\ln 1 - 0)/1 = 0\). 밀도 \(= 1/\sqrt{2\pi} \approx 0.39894228\). 하측 누적확률 \(P = \Phi(0) = 0.5\). 상측 누적확률 \(Q = 1 - 0.5 = 0.5\). \(x = 2\)인 경우: \(z = \ln 2 \approx 0.6931\)이므로 \(f \approx 0.156874\), \(P \approx 0.75568\), \(Q \approx 0.24432\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
\(\mu\)와 \(\sigma\)는 x의 평균과 표준편차인가요? 아닙니다. 이 값들은 기저가 되는 정규분포 변수인 ln(x)의 평균과 표준편차이며, x 자체의 값이 아닙니다.
x = 0에서는 어떻게 되나요? 로그정규분포는 \(x > 0\)에서만 정의되므로, ln(0)을 피하기 위해 \(f(0) = 0\), \(P(0) = 0\), \(Q(0) = 1\)로 처리합니다.
왜 \(\sigma\)가 양수여야 하나요? 표준편차가 0 이하이면 의미 있는 분포가 성립하지 않고 0으로 나누는 문제가 생기므로, 계산기는 \(\sigma \le 0\)인 경우를 받아들이지 않습니다.
