Bu hesaplama aracı ne işe yarar?
Log-normal dağılım, doğal logaritması normal dağılan pozitif bir rastgele değişkeni tanımlar. Eğer ln(x) değeri, ortalaması \(\mu\) ve standart sapması \(\sigma\) olan bir normal dağılıma uyuyorsa, x log-normal dağılımlıdır. Bu araç, seçtiğiniz bir x aralığında üç fonksiyondan birini hesaplar ve okuyabileceğiniz ya da grafiğe dökebileceğiniz bir tablo sunar: olasılık yoğunluğu f(x), alt kümülatif olasılık P(x) (yani kümülatif dağılım fonksiyonu) veya üst kümülatif olasılık \(Q(x) = 1 - P(x)\).
Nasıl kullanılır?
Önce çizdirmek istediğiniz fonksiyonu seçin, ardından ln(x)'in ortalaması \(\mu\) ve standart sapması \(\sigma\) değerlerini girin. Başlangıç x değerini (x'in ilk değeri), ardışık x değerleri arasındaki adımı ve nokta sayısını belirleyin. Hesaplama aracı, fonksiyonu i = 0, 1, …, sayı−1 için \(x_i = \text{başlangıçX} + i \times \text{adım}\) noktalarında hesaplar ve her (x, değer) çiftini tabloya işler. Sigma pozitif olmalı, x ise negatif olmamalıdır; x = 0 noktasında yoğunluk ile alt kümülatif 0, üst kümülatif ise 1 olur.
Formülün açıklaması
Yoğunluk fonksiyonu
$$f(x) = \frac{1}{x\,\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{\left(\ln x - \mu\right)^{2}}{2\,\sigma^{2}}\right),\quad x>0$$şeklindedir. Kümülatif olasılık ise
$$P(x) = \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$olup, burada \(\Phi\) standart normal dağılımın CDF'sidir: \(\Phi(z) = \frac{1}{2}(1 + \operatorname{erf}(z/\sqrt{2}))\). Üst kümülatif (hayatta kalma) fonksiyonu
$$Q(x) = 1 - \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{2}\left[1-\operatorname{erf}\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$olarak bulunur. Hesaplamada erf için yüksek doğrulukta bir rasyonel yaklaşım kullanılır (maksimum hata yaklaşık \(1{,}5\times10^{-7}\)).
Örnek hesaplama
\(\mu = 0\), \(\sigma = 1\) ve \(x = 1\) için:
$$z = \frac{\ln 1 - 0}{1} = 0$$Yoğunluk \(= 1/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}39894228\). Alt kümülatif \(P = \Phi(0) = 0{,}5\). Üst kümülatif \(Q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5\). \(x = 2\) noktasında ise: \(z = \ln 2 \approx 0{,}6931\) olur ve buradan \(f \approx 0{,}156874\), \(P \approx 0{,}75568\), \(Q \approx 0{,}24432\) elde edilir.
Sıkça sorulan sorular
\(\mu\) ve \(\sigma\), x'in ortalaması ve standart sapması mıdır? Hayır — bunlar, alttaki normal değişken olan ln(x)'in ortalaması ve standart sapmasıdır; x'in kendisinin değil.
x = 0 noktasında ne olur? Log-normal dağılım yalnızca \(x > 0\) için tanımlıdır; bu yüzden ln(0) sorununu önlemek için \(f(0) = 0\), \(P(0) = 0\) ve \(Q(0) = 1\) olarak alınır.
\(\sigma\) neden pozitif olmak zorunda? Sıfır ya da daha küçük bir standart sapma anlamlı bir dağılım vermez ve sıfıra bölme hatasına yol açar; bu nedenle araç \(\sigma \le 0\) değerlerini kabul etmez.
