Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, bir Gama dağılımının yüzdelik noktasını (kuantil ya da ters kümülatif dağılım fonksiyonu olarak da bilinir) hesaplar. Verilen bir olasılık ve Gama parametreleriyle, Gama kümülatif dağılım fonksiyonunun (CDF) o olasılığa eşit olduğu x değerini döndürür. Yani Gama CDF'sinin tersidir ve güvenilirlik mühendisliği, Bayesçi istatistik, kuyruk teorisi ile yağış / hidroloji modellemesinde yaygın olarak kullanılır.
Nasıl kullanılır?
Önce olasılığınızın bir alt kümülatif olasılık P (x'in solunda kalan alan) mı yoksa bir üst kümülatif olasılık Q (x'in sağında kalan alan) mı olduğunu seçin. Olasılığı kesinlikle 0 ile 1 arasında girin; ardından şekil parametresi a'yı (alfa, 0'dan büyük olmalı) ve ölçek parametresi b'yi (teta, 0'dan büyük olmalı) yazın. Gama dağılımının ortalaması \(a \cdot b\)'dir. Üst olasılık Q kullanırsanız hesaplayıcı, tersi almadan önce bunu \(P = 1 - Q\) biçimine çevirir.
Formülün açıklaması
Ölçek parametreli gösterimde Gama CDF'si \(F(x) = P_{\text{reg}}(a, x/b)\) şeklindedir; burada \(P_{\text{reg}}\), düzenlenmiş alt eksik gama fonksiyonudur. \(y = x/b\) dönüşümüyle problem ölçekten bağımsız hale gelir: $$P_{\text{reg}}(a, y) = P$$ denklemi çözülür ve sonra \(x = b \cdot y\) döndürülür. Düzenlenmiş eksik gama fonksiyonu, küçük \(y\) değerleri için seri açılımıyla, büyük \(y\) değerleri için ise sürekli kesir yöntemiyle hesaplanır. Tersi alma işleminde ise Wilson-Hilferty başlangıç tahmini Newton yöntemiyle iyileştirilir; güvenlik önlemi olarak ikiye bölme (bisection) yöntemi devreye girer.
Çözümlü örnek
Olasılık türü = alt, olasılık = 0,95, şekil \(a = 2\) ve ölçek \(b = 1\) alalım. \(a = 2\) için CDF'nin kapalı biçimi \(1 - (1 + y)e^{-y}\) olur. $$1 - (1 + y)e^{-y} = 0{,}95$$ denklemini çözünce \(y\) yaklaşık \(4{,}7439\) çıkar; dolayısıyla \(x\) yaklaşık \(4{,}7439\) olur. Bunun yerine ölçek \(b = 3\) alırsak, $$x = 3 \cdot 4{,}7439 = 14{,}2317$$ elde edilir.
Sıkça sorulan sorular
a = 1 olursa ne olur? Gama dağılımı, ortalaması b olan Üstel (Exponential) dağılıma indirgenir ve kuantil tam kapalı biçim olarak \(x = -b \cdot \ln(1 - P)\) ile verilir.
Hangi parametrizasyon kullanılıyor? Şekil a ve ölçek b kullanılır; dolayısıyla ortalama \(a \cdot b\)'dir. Elinizde bir oran (rate) parametresi varsa, ölçek \(b = 1 / \text{oran}\) olur.
Olasılık neden 0 ile 1 arasında olmak zorunda? Tam 0'da kuantil 0, tam 1'de ise sonsuzdur; bu yüzden yalnızca \((0, 1)\) açık aralığı sonlu bir sonuç verir.
