Laplace dağılımı nedir?
Çift üstel dağılım olarak da bilinen Laplace dağılımı, merkezi bir tepe noktasında sırt sırta yerleştirilmiş iki üstel eğri görünümünde olan sürekli bir olasılık dağılımıdır. İki sayıyla tanımlanır: ortalama, medyan ve modun bir arada bulunduğu a konum parametresi ve kuyrukların ne kadar hızlı azaldığını belirleyen b ölçek parametresi (sıfırdan büyük olmalıdır). Sinyal işleme, sağlam (robust) istatistik, Bayes LASSO öncülleri ve verilerin normal dağılıma göre daha kalın kuyruklara sahip olduğu modellerde karşımıza çıkar.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
İstediğiniz büyüklüğü Fonksiyon seçimi radyo düğmeleriyle belirleyin: olasılık yoğunluğu \(f\), alt kümülatif olasılık \(P\) (yani CDF) veya üst kümülatif olasılık \(Q\). Konum parametresi \(a\) ile pozitif bir ölçek parametresi \(b\) girin. Ardından x dizisini üç alanla tanımlayın: x başlangıç değeri, x artış miktarı ve tekrar sayısı. Noktalar \(k = 0\)'dan \(\text{count} - 1\)'e kadar \(x_k = x_{\text{Başlangıç}} + k \cdot x_{\text{Adım}}\) biçiminde üretilir. Araç, seçtiğiniz fonksiyonu her noktada hesaplar, bir çizgi grafiği çizer ve her \((x, \text{değer})\) çiftini bir tabloda listeler. Öne çıkan değer, ilk \(x\)'teki fonksiyon değeridir.
Formülün açıklaması
Yoğunluk şu şekildedir:
$$f(x,a,b) = \frac{1}{2\,\text{b}}\, e^{-\frac{\left| x - \text{a} \right|}{\text{b}}}$$Mutlak değer, eğriyi \(a\) etrafında simetrik yapar. İntegrali alındığında CDF elde edilir:
$$P(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}\, e^{\frac{x - \text{a}}{\text{b}}}, & x < \text{a} \\[1em] 1 - \dfrac{1}{2}\, e^{-\frac{x - \text{a}}{\text{b}}}, & x \ge \text{a} \end{cases}$$Üst kuyruk ise yalnızca \(Q = 1 - P\)'dir. Tepe noktasında, yani \(x = a\) için \(f = \frac{1}{2b}\) ve \(P = Q = 0.5\) olur.
Çözümlü örnek
\(a = 0\), \(b = 0.7\) değerleriyle \(x = 1\) noktasında: $$f = \frac{1}{1.4} \cdot e^{-\frac{1}{0.7}} = 0.714286 \times 0.239651 \approx 0.17118$$ \(x \ge a\) olduğundan $$P = 1 - 0.5 \cdot e^{-1.42857} = 0.88017$$ ve \(Q = 0.11983\) bulunur. \(P + Q = 1\) olması, işlemlerinizi doğrulamak için pratik bir kontroldür.
Sıkça sorulan sorular
b neden pozitif olmalı? Yoğunlukta \(2b\)'ye bölme yapılır ve üs kısmında \(b\) kullanılır; \(b \le 0\) olduğunda fonksiyon tanımsız kalır, bu nedenle hesaplama aracı bu değeri kabul etmez.
Q neyi temsil eder? \(Q(x)\), rastgele bir değerin \(x\)'i aşma olasılığıdır; yani sağ kuyruk ya da sağkalım olasılığı olup \(1 - P(x)\)'e eşittir.
Kaç nokta çizebilirim? 1000'e kadar herhangi bir pozitif tam sayı. Varsayılan değerler (başlangıç \(-5\), adım 0.1, 101 nokta) \(x\)'i \(-5\) ile \(+5\) arasında kapsar.
