라플라스 분포란?
라플라스 분포는 이중지수 분포(double-exponential distribution)라고도 불리는 연속 확률분포로, 중앙의 봉우리를 기준으로 두 개의 지수 곡선이 등을 맞대고 있는 모양을 합니다. 이 분포는 두 개의 값으로 결정됩니다. 하나는 위치 모수 a(이 지점에서 평균, 중앙값, 최빈값이 모두 일치합니다)이고, 다른 하나는 척도 모수 b(반드시 0보다 커야 하며, 꼬리가 얼마나 빠르게 감쇠하는지를 결정합니다)입니다. 신호 처리, 로버스트 통계, 베이지안 LASSO 사전분포, 그리고 정규분포보다 꼬리가 두꺼운 데이터를 다루는 모형 등에서 자주 등장합니다.
계산기 사용법
먼저 함수 선택 라디오 버튼에서 원하는 값을 고릅니다. 확률밀도 \(f\), 하측 누적확률 \(P\)(CDF), 상측 누적확률 \(Q\) 중에서 선택하면 됩니다. 그다음 위치 모수 \(a\)와 양수인 척도 모수 \(b\)를 입력합니다. 이어서 세 개의 입력란으로 \(x\) 수열을 정의합니다. x 시작값, x 증가량, 반복 횟수가 그것입니다. 각 점은 $$x_k = x_{\text{시작값}} + k \cdot x_{\text{증가량}}$$ (\(k\)는 0부터 횟수\(-1\)까지) 공식으로 생성됩니다. 이 도구는 모든 점에서 선택한 함수를 계산해 선 그래프로 그리고, 각 \((x, \text{값})\) 쌍을 표로 정리합니다. 상단에 크게 표시되는 대표값은 첫 번째 \(x\)에서의 함수값입니다.
공식 설명
밀도는 $$f(x, a, b) = \frac{1}{2\,\text{b}}\, e^{-\frac{\left| x - \text{a} \right|}{\text{b}}}$$입니다. 절댓값 때문에 곡선은 \(a\)를 중심으로 좌우 대칭이 됩니다. 이를 적분하면 누적분포함수(CDF)가 나옵니다. \(x < a\)일 때는 \(P = 0.5 \cdot e^{(x-a)/b}\)이고, \(x \ge a\)일 때는 \(P = 1 - 0.5 \cdot e^{-(x-a)/b}\)입니다. 상측 꼬리는 단순히 \(Q = 1 - P\)로 구합니다. 봉우리인 \(x = a\)에서는 \(f = \frac{1}{2b}\), 그리고 \(P = Q = 0.5\)가 됩니다.
계산 예시
\(a = 0\), \(b = 0.7\)일 때 \(x = 1\)에서 계산해 보겠습니다. $$f = \frac{1}{1.4} \cdot e^{-1/0.7} = 0.714286 \times 0.239651 \approx 0.17118$$입니다. \(x \ge a\)이므로 \(P = 1 - 0.5 \cdot e^{-1.42857} = 0.88017\), \(Q = 0.11983\)이 됩니다. \(P + Q = 1\)이 정확히 성립하는 것을 보면 계산이 맞는지 손쉽게 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
b는 왜 반드시 양수여야 하나요? 밀도는 \(2b\)로 나누고 지수 부분에도 \(b\)가 쓰입니다. 만약 \(b \le 0\)이면 함수가 정의되지 않으므로, 계산기는 이런 값을 허용하지 않습니다.
Q는 무엇을 뜻하나요? \(Q(x)\)는 확률변수가 \(x\)보다 큰 값을 가질 확률, 즉 오른쪽 꼬리(생존) 확률이며 \(1 - P(x)\)와 같습니다.
몇 개의 점까지 그릴 수 있나요? 1000 이하의 양의 정수라면 얼마든지 가능합니다. 기본값(시작 \(-5\), 증가량 0.1, 점 101개)은 \(x\)를 \(-5\)부터 \(+5\)까지 펼쳐줍니다.
