조화평균이란?
조화평균은 비율이나 변화율을 다룰 때 특히 유용한 평균입니다. 값을 그대로 더하는 산술평균과 달리, 조화평균은 각 값의 역수를 이용해 계산합니다. 조화평균은 세 가지 피타고라스 평균 중 항상 가장 작은 값(조화평균 ≤ 기하평균 ≤ 산술평균)이며, 데이터 집합에서 가장 작은 수의 영향을 크게 받는다는 특징이 있습니다.
계산기 사용 방법
숫자를 쉼표나 공백으로 구분해 입력하세요. 예를 들어 2, 4, 8처럼 입력하면 됩니다. 계산기는 값의 개수를 세고, 각 값의 역수를 모두 더한 뒤, 개수를 그 합으로 나눕니다. 0으로 나누는 것은 정의되지 않으므로 0 값은 자동으로 제외됩니다. 조화평균은 0이 아닌 수에 대해서만 정의됩니다.
공식 설명
\(n\)개 값의 조화평균은 다음과 같습니다.
$$\text{HM} = \frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$$
먼저 모든 값의 역수를 구한 다음 그 역수들을 전부 더하고, 값의 개수를 이 합으로 나눕니다. 이 가중 방식 때문에 작은 값일수록 결과에 더 큰 영향을 미치며, 바로 이 점이 속도, 주가수익비율(PER), 단위당 비율 등을 평균 낼 때 조화평균이 적합한 이유입니다.
계산 예시
값이 2, 4, 8인 경우 숫자는 \(n = 3\)개입니다. 역수의 합은 $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 0.875$$입니다. 따라서 조화평균은 \(3 / 0.875 \approx\) 3.4286이 됩니다. 산술평균인 4.667과 비교하면, 예상대로 조화평균이 더 작다는 것을 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
조화평균은 언제 사용해야 하나요? 같은 거리를 이동할 때의 평균 속도나 주가수익비율(PER) 같은 배수를 평균 낼 때처럼, 비율과 변화율의 평균을 구할 때 사용합니다.
왜 값이 0이면 안 되나요? 공식상 각 값으로 1을 나누어야 하는데, 0이 있으면 0으로 나누게 되어 정의되지 않습니다. 그래서 0 값은 제외됩니다.
산술평균과 어떻게 다른가요? 산술평균은 값을 그대로 더하지만, 조화평균은 값의 역수를 더합니다. 양수의 경우 조화평균은 항상 산술평균보다 작거나 같습니다.
