हार्मोनिक माध्य क्या है?
हार्मोनिक माध्य एक खास तरह का औसत है, जो दरों (rates) और अनुपातों (ratios) के लिए सबसे उपयुक्त माना जाता है। समांतर माध्य (arithmetic mean) सीधे मानों को जोड़ता है, जबकि हार्मोनिक माध्य मानों के व्युत्क्रमों (reciprocals) पर काम करता है। यह तीनों पाइथागोरियन माध्यों में हमेशा सबसे छोटा होता है (हार्मोनिक ≤ ज्यामितीय ≤ समांतर) और डेटा सेट की सबसे छोटी संख्याओं से सबसे ज़्यादा प्रभावित होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपनी संख्याओं को कॉमा या स्पेस से अलग करके दर्ज करें — जैसे 2, 4, 8। कैलकुलेटर पहले मानों की गिनती करता है, फिर उनके व्युत्क्रमों को जोड़ता है, और अंत में गिनती को उस योग से भाग देता है। शून्य (zero) वाले मानों को छोड़ दिया जाता है, क्योंकि शून्य से भाग देना अपरिभाषित है; हार्मोनिक माध्य केवल शून्य-रहित संख्याओं के लिए ही परिभाषित होता है।
सूत्र को समझें
n मानों का हार्मोनिक माध्य इस प्रकार होता है:
$$\text{HM} = \frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}}$$
पहले हर मान का व्युत्क्रम लें, फिर उन सभी व्युत्क्रमों को जोड़ें, और उसके बाद मानों की कुल गिनती को उस योग से भाग दें। यह भारांकन (weighting) छोटे मानों को ज़्यादा महत्व देता है — इसीलिए गति (speed), P/E अनुपात या प्रति इकाई दरों का औसत निकालने के लिए हार्मोनिक माध्य ही सही विकल्प है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लें कि मान 2, 4 और 8 हैं, यानी n = 3 संख्याएँ। इनके व्युत्क्रम होंगे \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 0.875\)। इसलिए हार्मोनिक माध्य होगा \(3 / 0.875 \approx\) 3.4286। इसकी तुलना समांतर माध्य 4.667 से करें — जैसा अपेक्षित था, हार्मोनिक माध्य उससे कम है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
हार्मोनिक माध्य का उपयोग कब करना चाहिए? इसका उपयोग दरों और अनुपातों का औसत निकालने के लिए करें, जैसे समान दूरियों पर औसत गति, या मूल्य-से-आय (price-to-earnings) जैसे गुणकों का औसत।
मान शून्य-रहित क्यों होने चाहिए? इस सूत्र में हर मान से 1 को भाग देना पड़ता है। शून्य होने पर शून्य से भाग देना पड़ेगा, जो अपरिभाषित है, इसलिए शून्यों को छोड़ दिया जाता है।
यह समांतर माध्य से कैसे अलग है? समांतर माध्य मानों को जोड़ता है, जबकि हार्मोनिक माध्य उनके व्युत्क्रमों को जोड़ता है। धनात्मक संख्याओं के लिए हार्मोनिक माध्य हमेशा समांतर माध्य के बराबर या उससे कम होता है।
