Qu'est-ce que la moyenne harmonique ?
La moyenne harmonique est un type de moyenne particulièrement adapté aux taux et aux rapports. Contrairement à la moyenne arithmétique, qui additionne directement les valeurs, la moyenne harmonique repose sur les inverses de ces valeurs. Elle est toujours la plus petite des trois moyennes de Pythagore (harmonique ≤ géométrique ≤ arithmétique) et reste fortement influencée par les plus petits nombres de la série.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez vos nombres séparés par des virgules ou des espaces — par exemple 2, 4, 8. Le calculateur compte les valeurs, additionne leurs inverses, puis divise le nombre de valeurs par cette somme. Les valeurs nulles sont ignorées, car la division par zéro n'a pas de sens : la moyenne harmonique n'est définie que pour des nombres non nuls.
La formule expliquée
La moyenne harmonique de n valeurs s'écrit :
$$\text{MH} = \frac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dots + \dfrac{1}{x_n}}$$
On commence par calculer l'inverse de chaque valeur, on additionne tous ces inverses, puis on divise le nombre de valeurs par ce total. Cette pondération donne davantage de poids aux petites valeurs : c'est précisément pour cela que la moyenne harmonique est le bon choix lorsqu'on calcule une vitesse moyenne, un PER (ratio cours/bénéfice) ou des taux par unité.
Exemple détaillé
Pour les valeurs 2, 4 et 8, on a \(n = 3\) nombres. Les inverses donnent $$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 0{,}875.$$ La moyenne harmonique vaut donc $$\frac{3}{0{,}875} \approx \mathbf{3{,}4286}.$$ À titre de comparaison, la moyenne arithmétique est de 4,667 : la moyenne harmonique est plus faible, comme on pouvait s'y attendre.
Foire aux questions
Quand faut-il utiliser la moyenne harmonique ? Utilisez-la pour faire la moyenne de taux et de rapports, comme une vitesse moyenne sur des distances égales ou la moyenne de multiples financiers tels que le ratio cours/bénéfice.
Pourquoi les valeurs doivent-elles être non nulles ? La formule exige de diviser 1 par chaque valeur. Une valeur nulle reviendrait à diviser par zéro, ce qui n'a pas de sens : les zéros sont donc écartés.
En quoi diffère-t-elle de la moyenne arithmétique ? La moyenne arithmétique additionne les valeurs ; la moyenne harmonique additionne leurs inverses. Pour des nombres positifs, la moyenne harmonique est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique.
