À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule le percentile (aussi appelé quantile ou point de pourcentage) d'une loi de Cauchy, également connue sous le nom de loi de Lorentz. À partir d'une probabilité cumulée et des deux paramètres de la distribution — la position x0 (qui correspond à la médiane et au sommet de la courbe) et l'échelle γ (gamma, la demi-largeur à mi-hauteur) — il renvoie la valeur x à laquelle cette probabilité est atteinte. Il s'agit de mathématiques pures, valables partout de manière identique.
Comment l'utiliser
Choisissez d'abord le mode cumulatif. Sélectionnez Inférieur si votre probabilité P est une probabilité de queue gauche, \(P = \text{Prob}(X \le x)\). Sélectionnez Supérieur si votre probabilité Q est une probabilité de queue droite, \(Q = \text{Prob}(X \ge x)\). Saisissez ensuite la probabilité sous forme de fraction strictement comprise entre 0 et 1 (par exemple 0,95 pour le 95e percentile), le paramètre de position x0 et le paramètre d'échelle \(\gamma\) (qui doit être positif). Le calculateur renvoie alors le x correspondant.
La formule expliquée
La fonction de répartition de la loi de Cauchy s'écrit $$F(x) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{\pi}\cdot\arctan\!\left(\frac{x - x_0}{\gamma}\right).$$ En l'inversant, on obtient la fonction quantile $$x = x_0 + \gamma \cdot \tan\!\left(\pi\left(P - \tfrac{1}{2}\right)\right),$$ où P désigne la probabilité cumulée inférieure. Si vous avez saisi une probabilité supérieure Q, l'outil la convertit d'abord avec \(P = 1 - Q\). Pour \(P = 0{,}5\), le résultat vaut exactement x0 ; lorsque P se rapproche de 0 ou de 1, le résultat diverge vers moins ou plus l'infini, ce qui illustre les queues réputées épaisses de la loi de Cauchy (elle ne possède ni moyenne ni variance finie).
Exemple détaillé
Pour le 95e percentile inférieur avec \(x_0 = 0\) et \(\gamma = 1\) : \(P = 0{,}95\), donc $$x = 0 + 1\cdot\tan(\pi\cdot 0{,}45) = \tan(1{,}41372\ \text{rad}) \approx \mathbf{6{,}31375}.$$ Vérification : \(F(6{,}31375) = 0{,}5 + \tfrac{1}{\pi}\cdot\arctan(6{,}31375) = 0{,}5 + 0{,}45 = 0{,}95\). Avec \(x_0 = 2\), \(\gamma = 3\) et \(P = 0{,}75\) : $$x = 2 + 3\cdot\tan(\pi\cdot 0{,}25) = 2 + 3\cdot 1 = 5{,}0.$$
FAQ
Quelle est la différence entre le mode inférieur et le mode supérieur ? Ils sont complémentaires : une probabilité supérieure de 0,05 donne le même x qu'une probabilité inférieure de 0,95.
Pourquoi la probabilité doit-elle être strictement comprise entre 0 et 1 ? À exactement 0 ou 1, le quantile vaut plus ou moins l'infini, ce qui ne correspond à aucune valeur numérique finie.
L'échelle peut-elle être négative ? Non. L'échelle \(\gamma\) doit être strictement supérieure à 0 ; elle représente une demi-largeur, et une valeur négative n'a aucun sens.
