Qu'est-ce que le calculateur de percentile de la loi de Lévy ?
La loi de Lévy est une distribution de probabilité continue à queue lourde, définie pour les valeurs supérieures à son paramètre de position \(\mu\). Elle repose sur deux paramètres : la position \(\mu\) (un réel quelconque) et l'échelle \(c\) (qui doit être strictement positive). Ce calculateur résout le problème inverse : à partir d'une probabilité, il renvoie le percentile (quantile) \(x\) — la valeur de la variable aléatoire pour laquelle la fonction de répartition atteint cette probabilité.
Comment l'utiliser
Saisissez une probabilité strictement comprise entre 0 et 1. Indiquez ensuite s'il s'agit d'une probabilité cumulée inférieure \(P(x)\) ou d'une probabilité cumulée supérieure \(Q(x) = 1 - P(x)\). Renseignez enfin le paramètre de position \(\mu\) et le paramètre d'échelle \(c\) (\(c\) doit être supérieur à 0). Le calculateur vous donne alors \(x\). Si vous optez pour la probabilité supérieure, l'outil la convertit d'abord en probabilité inférieure avec \(P = 1 - Q\).
La formule expliquée
La fonction de répartition de la loi de Lévy s'écrit $$P(x) = \operatorname{erfc}\left( \sqrt{ \frac{c}{2(x - \mu)} } \right),$$ où \(\operatorname{erfc}\) désigne la fonction d'erreur complémentaire. En l'inversant, on obtient $$x = \mu + \frac{c}{2 \cdot \left[\operatorname{erfc}^{-1}(P)\right]^{2}}.$$ Le calculateur évalue la fonction d'erreur inverse à l'aide d'une approximation rationnelle de haute précision, affinée par itération de Newton ; aucune bibliothèque externe n'est donc nécessaire.
Exemple détaillé
Pour une probabilité = 0,5 (inférieure), \(\mu = 0\) et \(c = 1\) : \(\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}5) = \operatorname{erf}^{-1}(0{,}5) \approx 0{,}476936\). En élevant au carré, on obtient \(\approx 0{,}227468\), d'où $$x = 0 + \frac{1}{2 \times 0{,}227468} \approx 2{,}1981.$$ Il s'agit de la médiane de la loi de Lévy standard.
FAQ
Pourquoi la probabilité doit-elle être strictement comprise entre 0 et 1 ? Lorsque \(p\) tend vers 0, le percentile diverge vers l'infini, et lorsque \(p\) tend vers 1, il se réduit à \(\mu\) : les valeurs extrêmes sont donc exclues.
Que signifie l'option « probabilité supérieure » ? Elle considère votre valeur comme la probabilité de queue à droite \(Q(x)\) ; en interne, le calculateur utilise \(P = 1 - Q\). C'est pratique pour les questions liées au risque de queue.
Pourquoi les percentiles élevés sont-ils si grands ? La loi de Lévy possède une queue droite très lourde (sa moyenne est infinie) : même un 90ᵉ percentile inférieur peut représenter plusieurs fois la médiane.
