レヴィ分布のパーセント点計算ツールとは
レヴィ分布は、位置母数 \(\mu\) より大きい値に対して定義される連続型の確率分布で、裾の重い（ヘビーテール）分布として知られています。母数は2つあり、位置母数 \(\mu\)（任意の実数）と尺度母数 \(c\)（正の値である必要があります）で表されます。本ツールはその逆問題を解くもので、確率を与えると、累積分布関数がその確率と等しくなる確率変数の値、すなわちパーセント点（分位点）\(x\) を返します。
使い方
0 と 1 の間（両端を含まない）の確率を入力します。その確率を下側累積確率 \(P(x)\) として扱うか、上側累積確率 \(Q(x) = 1 - P(x)\) として扱うかを選んでください。続いて位置母数 \(\mu\) と尺度母数 \(c\)（\(c\) は 0 より大きい値）を入力します。計算結果として \(x\) が得られます。上側を選んだ場合、本ツールはまず \(P = 1 - Q\) により下側確率へ変換します。
計算式の解説
レヴィ分布の累積分布関数は $$P(x) = \operatorname{erfc}\left( \sqrt{ \frac{c}{2(x - \mu)} } \right)$$ で表されます。ここで \(\operatorname{erfc}\) は相補誤差関数です。これを \(x\) について逆に解くと、$$x = \mu + \frac{c}{2 \cdot \left(\operatorname{erfc}^{-1}(P)\right)^{2}}$$ となります。本ツールでは逆誤差関数を高精度の有理近似で評価し、さらにニュートン法による反復で精度を高めているため、外部ライブラリを必要としません。
計算例
確率 = 0.5（下側）、\(\mu = 0\)、\(c = 1\) の場合：\(\operatorname{erfc}^{-1}(0.5) = \text{inverseErf}(0.5) \approx 0.476936\) となります。これを2乗すると \(\approx 0.227468\) なので、$$x = 0 + \frac{1}{2 \times 0.227468} \approx 2.1981$$ です。これは標準レヴィ分布の中央値（メディアン）にあたります。
よくある質問
確率を 0 と 1 の間（両端を除く）に限定するのはなぜですか？ \(p\) が 0 に近づくとパーセント点は無限大に発散し、\(p\) が 1 に近づくと \(\mu\) に収束してしまうため、両端の値は除外しています。
上側オプションとは何ですか？ 入力した値を右裾の確率 \(Q(x)\) として扱うものです。内部では \(P = 1 - Q\) を用いて計算します。テールリスク（裾のリスク）に関する問題を考える際に便利です。
大きいパーセント点の値がなぜこれほど大きくなるのですか？ レヴィ分布は右裾が非常に重く（平均は無限大になります）、そのため下側90パーセント点でも中央値の何倍にもなることがあります。
