Что такое калькулятор перцентилей распределения Леви?
Распределение Леви — это непрерывное распределение с «тяжёлым хвостом», определённое для значений больше параметра сдвига \(\mu\). Оно задаётся двумя параметрами: сдвигом \(\mu\) (любое вещественное число) и масштабом \(c\) (строго положительным). Этот калькулятор решает обратную задачу: по заданной вероятности он возвращает перцентиль (квантиль) \(x\) — то значение случайной величины, при котором функция распределения равна указанной вероятности.
Как пользоваться
Введите вероятность строго в интервале от 0 до 1. Укажите, является ли она нижней накопленной вероятностью \(P(x)\) или верхней накопленной вероятностью \(Q(x) = 1 - P(x)\). Затем задайте параметр сдвига \(\mu\) и параметр масштаба \(c\) (\(c\) должно быть больше 0). Калькулятор вернёт значение \(x\). Если вы выбрали верхний вариант, инструмент сначала пересчитает его в нижнюю вероятность по формуле \(P = 1 - Q\).
Разбор формулы
Функция распределения Леви имеет вид $$P(x) = \operatorname{erfc}\left( \sqrt{ \frac{c}{2(x - \mu)} } \right),$$ где \(\operatorname{erfc}\) — дополнительная функция ошибок. Обращение этой функции даёт $$x = \mu + \frac{c}{2 \cdot \left[\operatorname{erfc}^{-1}(P)\right]^{2}}.$$ Калькулятор вычисляет обратную функцию ошибок с помощью высокоточной рациональной аппроксимации, уточнённой итерациями Ньютона, поэтому никакие внешние библиотеки не требуются.
Разбор примера
Для вероятности = 0,5 (нижней), \(\mu = 0\), \(c = 1\): \(\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}5) = \operatorname{inverseErf}(0{,}5) \approx 0{,}476936\). Возведение в квадрат даёт \(\approx 0{,}227468\), поэтому $$x = 0 + \frac{1}{2 \times 0{,}227468} \approx 2{,}1981.$$ Это медиана стандартного распределения Леви.
Частые вопросы
Почему вероятность должна быть строго между 0 и 1? При \(p\), стремящейся к 0, перцентиль уходит в бесконечность, а при \(p\), стремящейся к 1, он стягивается к \(\mu\), поэтому крайние точки исключены.
Что означает верхний вариант? Он трактует ваше значение как вероятность правого хвоста \(Q(x)\); внутри калькулятор использует \(P = 1 - Q\). Это удобно для задач об оценке риска в хвосте распределения.
Почему большие перцентили получаются такими огромными? У распределения Леви очень тяжёлый правый хвост (его математическое ожидание бесконечно), поэтому даже нижний 90-й перцентиль может во много раз превышать медиану.
