레비 분포 백분위수 계산기란?
레비 분포(Levy distribution)는 위치 모수 \(\mu\)보다 큰 값에서 정의되는 연속형 두꺼운 꼬리(heavy-tailed) 확률분포입니다. 두 개의 모수, 즉 임의의 실수가 될 수 있는 위치 모수 \(\mu\)와 반드시 양수여야 하는 척도 모수 \(c\)로 결정됩니다. 이 계산기는 그 역문제를 풉니다. 즉, 확률이 주어지면 누적분포함수(CDF)가 그 확률과 같아지는 확률변수 값인 백분위수(분위수) \(x\)를 돌려줍니다.
사용 방법
0과 1 사이의 값(0과 1은 포함하지 않음)을 확률로 입력하세요. 이 확률이 하위 누적확률 \(P(x)\)인지, 아니면 상위 누적확률 \(Q(x) = 1 - P(x)\)인지 선택합니다. 그런 다음 위치 모수 \(\mu\)와 척도 모수 \(c\)를 입력합니다(\(c\)는 반드시 0보다 커야 합니다). 계산기가 \(x\)를 반환합니다. 상위 옵션을 선택하면 계산기가 먼저 \(P = 1 - Q\)로 변환해 하위 확률로 계산합니다.
공식 설명
레비 분포의 누적분포함수는 $$P(x) = \operatorname{erfc}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x - \mu)}}\right)$$이며, 여기서 erfc는 여오차함수(complementary error function)입니다. 이를 역으로 풀면 $$x = \mu + \frac{c}{2\left[\operatorname{erfc}^{-1}(P)\right]^{2}}$$가 됩니다. 이 계산기는 고정밀 유리식 근사에 뉴턴 반복법을 더해 역오차함수를 계산하므로 외부 라이브러리가 필요하지 않습니다.
계산 예시
확률 = 0.5(하위), \(\mu = 0\), \(c = 1\)인 경우: \(\operatorname{erfc}^{-1}(0.5) = \operatorname{inverseErf}(0.5) \approx 0.476936\)입니다. 이를 제곱하면 \(\approx 0.227468\)이므로 $$x = 0 + \frac{1}{2 \times 0.227468} \approx 2.1981$$이 됩니다. 이 값이 바로 표준 레비 분포의 중앙값입니다.
자주 묻는 질문
확률이 왜 0과 1 사이여야 하나요(양 끝값 제외)? \(p\)가 0에 가까워지면 백분위수는 무한대로 발산하고, \(p\)가 1에 가까워지면 \(\mu\)로 수렴합니다. 따라서 양 끝값은 제외됩니다.
상위 옵션은 무슨 의미인가요? 입력한 값을 오른쪽 꼬리 확률 \(Q(x)\)로 취급한다는 뜻입니다. 계산기는 내부적으로 \(P = 1 - Q\)를 사용합니다. 꼬리 위험(tail risk) 분석 같은 문제에 유용합니다.
큰 백분위수는 왜 그렇게 큰 값이 나오나요? 레비 분포는 오른쪽 꼬리가 매우 두꺼워(평균이 무한대) 90번째 하위 백분위수조차 중앙값의 몇 배에 달할 수 있기 때문입니다.
