와이블 분포 백분위수 계산기란?
이 계산기는 2-모수 와이블 분포의 백분위수(분위수 또는 역CDF라고도 합니다)를 구해 줍니다. 형상모수 \(m\), 척도모수 \(\eta\), 그리고 누적확률을 입력하면 분포가 해당 확률에 도달하는 값 \(x\)를 돌려줍니다. 지역별 규정이 적용되지 않는 순수 통계 도구로, 어디서나 동일하게 사용할 수 있습니다.
와이블 분포
2-모수 와이블 분포는 형상모수 \(m\)(\(k\) 또는 \(\beta\)로 표기하기도 합니다)과 척도모수 \(\eta\)(\(\alpha\) 또는 \(\lambda\)로 표기하기도 합니다)를 가지며, 두 모수 모두 양수이고 정의역은 \(x \ge 0\)입니다. 하측 누적분포함수는 $$P = F(x) = 1 - \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right)$$이며, 상측(생존) 확률은 $$Q = 1 - F(x) = \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right)$$이므로 \(P + Q = 1\)이 성립합니다.
분위수 공식
\(P = 1 - \exp\left(-\left(\frac{x}{\eta}\right)^{m}\right)\)을 \(x\)에 대해 풀면 역CDF가 됩니다: $$x = \eta\left(-\ln\left(1-P\right)\right)^{\frac{1}{m}}$$ 상측 확률 \(Q\)를 입력하는 경우 계산기가 먼저 \(P = 1 - Q\)로 변환하므로, 동일하게 $$x = \eta\left(-\ln\left(Q\right)\right)^{\frac{1}{m}}$$이 됩니다. 출력값 \(x\)는 척도모수가 나타내는 단위(시간, 사이클 등)를 그대로 따릅니다.
사용 방법
형상모수 \(m\)과 척도모수 \(\eta\)를 입력하세요. 입력할 확률이 하측 누적확률 \(P\)인지 상측 누적확률 \(Q\)인지 선택한 뒤, 0과 1 사이의 값(양 끝값 제외)을 입력합니다. 결과로 백분위수 \(x\)가 나옵니다.
계산 예시
\(m = 2\), \(\eta = 1\), 하측 확률 \(P = 0.5\)인 경우: \(-\ln(1 - 0.5) = 0.693147\)이고, \(0.693147^{\frac{1}{2}} = 0.832555\)이므로 $$x = 1 \times 0.832555 = 0.83255$$가 됩니다. 이는 와이블(2, 1) 분포, 즉 레일리(Rayleigh) 분포의 중앙값입니다.
자주 묻는 질문
신뢰도(생존) 확률을 가지고 있다면 어떻게 하나요? 그것은 상측 확률 \(Q\)입니다. "상측 누적확률 Q"를 선택한 뒤 그대로 입력하면 됩니다.
확률이 반드시 0과 1 사이(양 끝 제외)여야 하는 이유는? \(P\)가 1에 가까워지면 백분위수는 무한대로 발산하고, \(P = 0\)이면 0이 됩니다. 양 끝값이거나 그 범위를 벗어나면 로그값이 정의되지 않습니다.
결과가 음수가 될 수 있나요? 아니요. 와이블 분포의 정의역은 \(x \ge 0\)이므로 백분위수는 항상 0 이상입니다.
