팩토리얼이란?
음이 아닌 정수 n의 팩토리얼은 n!로 표기하며, 1부터 n까지 모든 양의 정수를 곱한 값을 뜻합니다. 예를 들어 \(5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120\)이 됩니다. 수학적 약속에 따라 \(0! = 1\)로 정의하는데, 이는 '아무것도 곱하지 않은 곱(공곱)'을 의미합니다. 팩토리얼은 증가 속도가 매우 빨라서 \(10!\)만 해도 이미 300만이 넘습니다. 그래서 이 계산기는 표준 배정밀도(double) 숫자로 표현할 수 있는 가장 큰 팩토리얼인 \(170!\)까지, 즉 0부터 170까지의 값을 지원합니다.
계산기 사용법
0과 170 사이의 정수 n을 입력하면 n! 값이 즉시 계산됩니다. 따로 설정할 항목은 없습니다. 팩토리얼은 음이 아닌 정수에 대해서만 정의되므로 소수나 음수는 입력할 수 없습니다. 결과 패널에는 계산된 n!의 전체 값이 표시됩니다.
공식 풀이
수학적으로 다음과 같습니다.
$$\text{n}! = \prod_{i=1}^{\text{n}} i = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times \text{n}$$또한 점화식으로는 \(\text{n}! = \text{n} \times (\text{n} - 1)!\)로 나타낼 수 있으며, 기본값은 \(0! = 1\)입니다. 각 단계마다 지금까지의 곱에 다음 정수를 차례로 곱하기만 하면 됩니다. 팩토리얼은 서로 다른 n개의 대상을 순서대로 나열하는 경우의 수(순열)를 의미하기 때문에, 조합론·확률론·급수 전개 등 다양한 분야에서 등장합니다.
예제로 보는 계산
6!을 구하려면 단계별로 곱해 나갑니다.
$$1 \times 2 = 2,\ \times 3 = 6,\ \times 4 = 24,\ \times 5 = 120,\ \times 6 = 720$$따라서 \(6! = 720\)입니다. 이는 서로 다른 6개의 항목을 나열하는 방법이 720가지라는 뜻입니다.
자주 묻는 질문
왜 0!은 1인가요? 팩토리얼은 순열의 수를 세는데, 0개의 대상을 나열하는 방법은 '아무것도 배열하지 않는 경우' 단 한 가지뿐입니다. 또한 \(0! = 1\)로 정의하면 nCr 같은 공식들이 일관성 있게 유지됩니다.
소수의 팩토리얼도 계산할 수 있나요? 기본 팩토리얼로는 불가능합니다. 팩토리얼을 정수가 아닌 값까지 확장하려면 감마 함수가 필요한데, 이 계산기는 감마 함수를 지원하지 않습니다.
왜 170까지만 계산하나요? \(170! \approx 7.26 \times 10^{306}\)은 배정밀도 부동소수점 숫자가 담을 수 있는 최댓값보다 작은 가장 큰 팩토리얼입니다. 171!부터는 값이 넘쳐(overflow) 무한대가 됩니다.
