Qu'est-ce qu'une factorielle ?
La factorielle d'un entier positif ou nul n, notée n!, correspond au produit de tous les entiers positifs allant de 1 jusqu'à n. Par exemple, \(5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120\). Par convention mathématique, \(0! = 1\) (c'est le produit vide). Les factorielles augmentent à une vitesse vertigineuse — \(10!\) dépasse déjà les trois millions — c'est pourquoi ce calculateur accepte les valeurs de 0 à 170, soit la plus grande factorielle représentable par un nombre à virgule flottante en double précision.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez un entier n compris entre 0 et 170 : l'outil affiche aussitôt n!. Rien d'autre à régler. Les factorielles n'étant définies que pour les entiers positifs ou nuls, les nombres décimaux et négatifs ne sont pas acceptés. Le panneau de résultats affiche la valeur complète de n!.
La formule expliquée
Mathématiquement, $$\text{n}! = \prod_{i=1}^{\text{n}} i = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times \text{n}.$$ On peut aussi l'exprimer de façon récursive : \(\text{n}! = \text{n} \times (\text{n} - 1)!\), avec le cas de base \(0! = 1\). À chaque étape, on multiplie simplement le produit en cours par l'entier suivant. La factorielle compte le nombre de façons d'ordonner n objets distincts (les permutations) ; voilà pourquoi on la retrouve partout en combinatoire, en probabilités et dans les développements en série.
Exemple détaillé
Pour calculer \(6!\), on multiplie étape par étape : \(1 \times 2 = 2\), \(\times 3 = 6\), \(\times 4 = 24\), \(\times 5 = 120\), \(\times 6 = 720\). Donc $$6! = 720.$$ Cela signifie qu'il existe 720 façons différentes d'ordonner six objets distincts.
Questions fréquentes
Pourquoi 0! est-il égal à 1 ? La factorielle compte les permutations, et il n'existe qu'une seule façon d'ordonner zéro objet (l'arrangement vide). Cette convention permet aussi de garder cohérentes des formules comme celle des combinaisons (nCr).
Puis-je calculer la factorielle d'un nombre décimal ? Pas avec la factorielle classique. Étendre la factorielle aux nombres non entiers nécessite la fonction Gamma, que ce calculateur ne prend pas en charge.
Pourquoi s'arrêter à 170 ? \(170! \approx 7{,}26 \times 10^{306}\) est la plus grande factorielle inférieure à la valeur maximale qu'un nombre à virgule flottante en double précision peut contenir ; \(171!\) provoque un dépassement et donne l'infini.
