Qu'est-ce que la double factorielle ?
La double factorielle d'un nombre, notée x!!, correspond au produit d'un entier sur deux jusqu'à atteindre 1 ou 2. Pour un nombre impair, on multiplie les entiers impairs (par exemple \(5!! = 5\cdot3\cdot1 = 15\)) ; pour un nombre pair, on multiplie les entiers pairs (\(6!! = 6\cdot4\cdot2 = 48\)). Par convention, \(0!! = 1\) et \((-1)!! = 1\). Cette calculatrice étend la définition à n'importe quelle valeur réelle de x grâce à la fonction gamma, ce qui permet d'évaluer aussi des points non entiers comme 0,5!!.
Comment utiliser cette calculatrice
Saisissez trois nombres : la valeur initiale de x (le premier point de la suite), le pas (ajouté à x à chaque ligne) et le nombre de répétitions (le nombre de lignes à générer). L'outil construit la suite $$x_i = \text{début} + i \cdot \text{pas}, \quad i = 0, 1, \dots, \text{nombre}-1$$ et affiche chaque x avec sa double factorielle. Utilisez début = 1 et pas = 1 pour obtenir le tableau classique 1!!, 2!!, 3!!…, ou un pas fractionnaire pour explorer la courbe analytique continue.
La formule expliquée
Pour les entiers, nous utilisons la boucle de produit exacte afin d'éviter toute erreur d'arrondi. Pour un x réel quelconque, l'outil applique le prolongement analytique $$x!! = \left(\frac{2}{\pi}\right)^{\frac{1-\cos(\pi x)}{4}} 2^{\frac{x}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{x}{2}+1\right)$$ où \(\Gamma\) désigne la fonction gamma (calculée à l'aide de l'approximation de Lanczos). Lorsque x est un entier pair, \(\cos\pi x = 1\), donc le facteur \((2/\pi)\) disparaît ; lorsque x est impair, \(\cos\pi x = -1\), ce qui produit la correction \((2/\pi)^{\frac12}\). Les deux cas concordent avec la règle des entiers.
Exemple résolu
Avec début = 1, pas = 1 et nombre = 8, les lignes sont (1,1), (2,2), (3,3), (4,8), (5,15), (6,48), (7,105), (8,384). Vérifions x = 5 à l'aide de la formule : \(\cos 5\pi = -1\), donc l'exposant vaut 0,5 ; \((2/\pi)^{0,5} = 0{,}7979\), \(2^{2,5} = 5{,}6569\), \(\Gamma(3{,}5) = 3{,}32335\), et $$0{,}7979\cdot5{,}6569\cdot3{,}32335 \approx 15$$
FAQ
x doit-il être un nombre entier ? Non — toute valeur réelle de x fonctionne grâce au prolongement par la fonction gamma.
Pourquoi une valeur est-elle vide ou infinie ? Les entiers pairs négatifs (-2, -4, …) correspondent à des pôles de la fonction gamma et ne sont pas définis ; l'outil les signale comme NaN ou infini.
Jusqu'où les valeurs peuvent-elles grimper ? Les doubles factorielles croissent de façon factorielle, extrêmement rapide, et peuvent dépasser la précision des nombres à virgule flottante pour de grandes valeurs de x ; gardez un nombre de lignes modéré pour les très grandes valeurs.
