Giai thừa kép là gì?
Giai thừa kép của một số, ký hiệu là x!!, là tích của các số cách nhau một đơn vị giảm dần xuống tới 1 hoặc 2. Với số lẻ, ta nhân các số nguyên lẻ với nhau (ví dụ \(5!! = 5\cdot3\cdot1 = 15\)); với số chẵn, ta nhân các số nguyên chẵn (\(6!! = 6\cdot4\cdot2 = 48\)). Theo quy ước, \(0!! = 1\) và \((-1)!! = 1\). Máy tính này mở rộng định nghĩa cho bất kỳ giá trị thực nào của x bằng hàm gamma, nhờ vậy bạn cũng có thể tính được những điểm không nguyên như \(0.5!!\).
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập ba con số: giá trị x ban đầu (điểm đầu tiên trong dãy), bước tăng (cộng thêm vào x ở mỗi dòng) và số lần lặp (số dòng cần tạo). Công cụ sẽ dựng dãy $$x_i = \text{Start} + i \cdot \text{Step}, \quad i = 0,1,\dots,\text{N}-1$$ rồi liệt kê từng giá trị x kèm theo giai thừa kép của nó. Hãy chọn giá trị đầu = 1, bước = 1 để có bảng kinh điển \(1!!\), \(2!!\), \(3!!\hellip;\), hoặc dùng bước là số thập phân để khám phá đường cong giải tích mượt mà.
Giải thích công thức
Với số nguyên, chúng tôi dùng vòng lặp nhân chính xác để tránh sai số làm tròn. Với x thực bất kỳ, công cụ áp dụng phép mở rộng giải tích $$x!! = \left(\frac{2}{\pi}\right)^{\frac{1-\cos(\pi x)}{4}} 2^{\frac{x}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{x}{2}+1\right)$$ trong đó \(\Gamma\) là hàm gamma (được tính bằng phép xấp xỉ Lanczos). Khi x là số nguyên chẵn thì \(\cos\pi x = 1\), nên thừa số \((2/\pi)\) biến mất; khi x là số lẻ thì \(\cos\pi x = -1\), tạo ra hệ số hiệu chỉnh \((2/\pi)^{1/2}\). Cả hai nhánh đều khớp với quy tắc dành cho số nguyên.
Ví dụ minh họa
Với giá trị đầu = 1, bước = 1, số dòng = 8, các dòng sẽ là (1,1), (2,2), (3,3), (4,8), (5,15), (6,48), (7,105), (8,384). Kiểm tra \(x = 5\) bằng công thức: \(\cos 5\pi = -1\), nên số mũ là 0.5; \((2/\pi)^{0.5} = 0.7979\), \(2^{2.5} = 5.6569\), \(\Gamma(3.5) = 3.32335\), và \(0.7979\cdot5.6569\cdot3.32335 \approx 15\).
Câu hỏi thường gặp
x có bắt buộc phải là số nguyên không? Không — mọi giá trị thực của x đều dùng được nhờ phép mở rộng bằng hàm gamma.
Tại sao có ô bị trống hoặc cho giá trị vô cực? Các số nguyên chẵn âm (-2, -4, …) rơi vào điểm cực của hàm gamma nên không xác định; công cụ sẽ báo những giá trị này là NaN/vô cực.
Giá trị có thể lớn đến mức nào? Giai thừa kép tăng nhanh theo cấp giai thừa và có thể vượt quá giới hạn của số thực độ chính xác kép (double) khi x lớn; vì vậy hãy giữ số dòng ở mức vừa phải với các giá trị rất lớn.
