¿Qué es el doble factorial?
El doble factorial de un número, que se escribe x!!, es el producto de los enteros alternos hasta llegar a 1 o a 2. Para un número impar se multiplican los enteros impares (por ejemplo, \(5!! = 5\cdot 3\cdot 1 = 15\)), mientras que para un número par se multiplican los enteros pares (\(6!! = 6\cdot 4\cdot 2 = 48\)). Por convención, \(0!! = 1\) y \((-1)!! = 1\). Esta calculadora amplía la definición a cualquier valor real de x mediante la función gamma, de modo que también puedes evaluar puntos no enteros como 0,5!!.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tres números: el valor inicial de x (el primer punto de la secuencia), el incremento (lo que se suma a x en cada fila) y el número de repeticiones (cuántas filas quieres generar). La herramienta construye la secuencia $$x_i = \text{inicio} + i\cdot\text{paso}, \quad i = 0, 1, \dots, n-1$$ y muestra cada x junto a su doble factorial. Usa inicio = 1 y paso = 1 para obtener la tabla clásica 1!!, 2!!, 3!!…, o un paso fraccionario para explorar la curva analítica suave.
La fórmula explicada
Para los enteros utilizamos el bucle de producto exacto, así evitamos errores de redondeo. Para un x real cualquiera, la herramienta aplica la continuación analítica $$x!! = \left(\frac{2}{\pi}\right)^{\frac{1-\cos(\pi x)}{4}} 2^{\frac{x}{2}}\,\Gamma\!\left(\frac{x}{2}+1\right)$$ donde \(\Gamma\) es la función gamma (calculada con la aproximación de Lanczos). Cuando x es un entero par, \(\cos\pi x = 1\), por lo que el factor \((2/\pi)\) desaparece; cuando x es impar, \(\cos\pi x = -1\), lo que produce la corrección \((2/\pi)^{\frac12}\). Ambas ramas coinciden con la regla de los enteros.
Ejemplo resuelto
Con inicio = 1, paso = 1 y n = 8, las filas son (1,1), (2,2), (3,3), (4,8), (5,15), (6,48), (7,105), (8,384). Comprobemos x = 5 con la fórmula: \(\cos 5\pi = -1\), de modo que el exponente es 0,5; \((2/\pi)^{0,5} = 0{,}7979\), \(2^{2,5} = 5{,}6569\), \(\Gamma(3{,}5) = 3{,}32335\), y $$0{,}7979\cdot 5{,}6569\cdot 3{,}32335 \approx 15$$
Preguntas frecuentes
¿x tiene que ser un número entero? No: cualquier x real funciona gracias a la continuación con la función gamma.
¿Por qué aparece un valor vacío o infinito? Los enteros pares negativos (-2, -4, …) caen en los polos de la función gamma y no están definidos; la herramienta los muestra como NaN o infinito.
¿Hasta dónde puede crecer? Los dobles factoriales crecen tan rápido como un factorial y pueden desbordar la precisión doble con valores grandes de x; mantén un número de filas moderado para valores muy grandes.
