Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula cuatro magnitudes relacionadas a partir de un valor x: el factorial x!, el doble factorial x!! y el logaritmo natural de cada uno, ln(x!) y ln(x!!). Selecciona la magnitud en el desplegable Función, introduce tu valor de x y consulta el resultado. El cálculo es adimensional, así que no intervienen unidades ni conversiones.
Cómo usarla
Elige una función (x!, ln(x!), x!! o ln(x!!)), escribe un valor en Variable x y envía. Con números enteros, x! y x!! siguen las definiciones combinatorias clásicas. El motor también admite valores reales (no enteros): emplea la función gamma, de modo que, por ejemplo, \(0{,}5! = \sqrt{\pi}/2\). Los enteros negativos son polos de la gamma donde el factorial no está definido.
Las fórmulas explicadas
El factorial se extiende a los números reales mediante \(x! = \Gamma(x+1)\), la función gamma. El doble factorial multiplica los términos de dos en dos: para n par da \(n\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot2\) y para n impar da \(n\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot1\), con los casos base \(0!! = 1\) y \((-1)!! = 1\). Una única forma cerrada cubre todo x real: $$x!! = 2^{\frac{x}{2}+\frac{1-\cos\pi x}{4}}\,\pi^{\frac{\cos\pi x - 1}{4}}\,\Gamma\!\left(\tfrac{x}{2}+1\right)$$ Para argumentos muy grandes, la calculadora trabaja en el espacio logarítmico con log-gamma para no desbordarse nunca: \(\ln(x!) = \text{lgamma}(x+1)\).
Ejemplo resuelto
Pon Función = x!! y x = 6. El doble factorial de 6 es $$6\cdot4\cdot2 = 48.$$ Si cambias a ln(x!!), obtienes \(\ln(48) \approx 3{,}8712010109\). Del mismo modo, x = 5 con x! da $$1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5 = 120,$$ y el ln(x!) de 5 es \(\ln(120) \approx 4{,}7874917428\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué incluir las versiones logarítmicas? Los factoriales crecen a una velocidad enorme y desbordan la coma flotante habitual cerca de \(x \approx 1{,}7\times10^{308}\). Las salidas logarítmicas te permiten manejar con precisión argumentos astronómicamente grandes.
¿Puede x ser un decimal? Sí. Un x no entero usa la generalización con la función gamma, que ofrece una interpolación suave entre los valores enteros.
¿Y los valores negativos de x? Se admiten los no enteros negativos (mediante la gamma), pero los enteros negativos son polos donde el factorial y el doble factorial no están definidos.
