这个计算器能做什么
本工具可针对一个数值 x 计算四个相关结果：阶乘 x!、双阶乘 x!!，以及它们各自的自然对数 ln(x!) 与 ln(x!!)。只需在「函数」下拉框中选择想要的结果，输入 x 的取值，即可读取答案。整个运算是无量纲的，因此不涉及任何单位或换算。
使用方法
先选择一个函数（x!、ln(x!)、x!! 或 ln(x!!)），在变量 x 中填入数值，然后提交。对于整数，x! 与 x!! 沿用经典的组合学定义。计算引擎同样支持实数（非整数）：它借助伽马函数求值，例如 \(0.5! = \sqrt{\pi}/2\)。负整数对应伽马函数的极点，此时阶乘无定义。
公式详解
阶乘通过 \(x! = \Gamma(x+1)\)（即伽马函数）推广到实数。双阶乘则每隔一项相乘：偶数 n 为 \(n\cdot(n-2)\cdot\cdots\cdot 2\)，奇数 n 为 \(n\cdot(n-2)\cdot\cdots\cdot 1\)，并约定基准情形 \(0!! = 1\) 与 \((-1)!! = 1\)。一个统一的封闭表达式可覆盖所有实数 x：
$$x!! = 2^{\frac{x}{2}+\frac{1-\cos\pi x}{4}}\,\pi^{\frac{\cos\pi x - 1}{4}}\,\Gamma\!\left(\tfrac{x}{2}+1\right)$$对于非常大的自变量，计算器会在对数空间中借助对数伽马函数（log-gamma）运算，从而避免溢出：
$$\ln(x!) = \text{lgamma}(x+1)$$
实例演示
设函数 = x!!，x = 6。6 的双阶乘为 \(6\cdot 4\cdot 2 = 48\)。切换到 ln(x!!) 则得到 \(\ln(48) \approx 3.8712010109\)。同理，x = 5 选择 x! 得到 \(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120\)，而 5 的 ln(x!) 为 \(\ln(120) \approx 4.7874917428\)。
常见问题
为什么要提供对数版本？ 阶乘增长极快，在 \(x \approx 1.7\times 10^{308}\) 附近就会让普通浮点数溢出。对数输出让你能够精确处理天文级别的超大自变量。
x 可以是小数吗？ 可以。非整数 x 采用伽马函数的推广形式，从而在整数取值之间平滑插值。
负数 x 怎么办？ 负的非整数是允许的（通过伽马函数计算），但负整数对应极点，此时阶乘与双阶乘都无定义。
