Bu araç ne işe yarar?
Bu araç, bir x değeri için birbiriyle ilişkili dört büyüklüğü hesaplar: faktöriyel x!, çift faktöriyel x!! ve her birinin doğal logaritması olan ln(x!) ile ln(x!!). İstediğiniz büyüklüğü Fonksiyon menüsünden seçin, x değerinizi girin ve sonucu okuyun. Hesaplamalar boyutsuzdur; yani herhangi bir birim ya da dönüşüm söz konusu değildir.
Nasıl kullanılır?
Bir fonksiyon seçin (x!, ln(x!), x!! ya da ln(x!!)), Değişken x alanına bir değer yazın ve gönderin. Tam sayılarda x! ve x!!, klasik kombinatoryal tanımları izler. Araç ayrıca gerçek (tam sayı olmayan) değerleri de kabul eder: bunun için gama fonksiyonunu kullanır; örneğin \(0.5! = \sqrt{\pi}/2\) olur. Negatif tam sayılar ise faktöriyelin tanımsız olduğu gama kutuplarıdır.
Formüllerin açıklaması
Faktöriyel, gama fonksiyonu sayesinde gerçek sayılara genişler: $$x! = \Gamma(x+1)$$ Çift faktöriyel ise terimleri birer atlayarak çarpar: çift n için \(n\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 2\), tek n için \(n\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 1\) olur; özel durumlar olarak \(0!! = 1\) ve \((-1)!! = 1\) kabul edilir. Tüm gerçek x değerlerini kapsayan tek bir kapalı form şudur: $$x!! = 2^{\frac{x}{2}+\frac{1-\cos\pi x}{4}}\,\pi^{\frac{\cos\pi x - 1}{4}}\,\Gamma\!\left(\tfrac{x}{2}+1\right)$$ Çok büyük argümanlarda araç, taşmayı önlemek için log-gama ile logaritmik uzayda çalışır: \(\ln(x!) = \mathrm{lgamma}(x+1)\).
Çözümlü örnek
Fonksiyon = x!! ve x = 6 seçin. 6'nın çift faktöriyeli \(6\cdot 4\cdot 2 = 48\)'dir. ln(x!!) seçeneğine geçtiğinizde sonuç \(\ln(48) \approx 3.8712010109\) olur. Benzer şekilde x = 5 için x! değeri \(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120\), 5'in ln(x!) değeri ise \(\ln(120) \approx 4.7874917428\) olur.
Sıkça sorulan sorular
Neden logaritmalı sürümler de sunuluyor? Faktöriyeller son derece hızlı büyür ve \(x \approx 1.7\times 10^{308}\) civarında sıradan kayan noktalı sayı sınırını aşar (taşma). Logaritmik çıktılar, astronomik ölçekteki argümanları bile kesin biçimde işlemenizi sağlar.
x ondalıklı olabilir mi? Evet. Tam sayı olmayan x değerleri, gama fonksiyonu genellemesini kullanır ve tam sayı değerleri arasında pürüzsüz bir geçiş sağlar.
Peki negatif x? Negatif tam sayı olmayan değerlere (gama yoluyla) izin verilir; ancak negatif tam sayılar, faktöriyel ve çift faktöriyelin tanımsız olduğu kutup noktalarıdır.
