Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, hızla yakınsayan üç ünlü sonsuz seriden birini terim terim toplayarak pi matematik sabitini hesaplar: Ramanujan'ın 1914'teki birinci serisi, Ramanujan'ın 1914'teki ikinci serisi veya Chudnovsky kardeşlerin 1987'deki serisi. Bu serileri benzersiz kılan şey, eklenen her terimin tek seferde birçok doğru ondalık basamağa katkı sağlamasıdır; bu yüzden yalnızca birkaç terim, pi'yi tam çift duyarlıklı (double-precision) hassasiyetle ortaya çıkarmaya yeter. Burası saf matematiktir; bölgesel kurallara bağlı olmadan evrensel olarak geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
Açılır menüden bir formül seçin, eklenecek en fazla terim sayısını belirleyin ve kaç ondalık basamak görüntülemek istediğinizi seçin. Hesaplayıcı \(n = 0, 1, 2, \ldots\) terimlerini ekler ve pi'nin anlık değeri artık değişmediğinde işlemi erken durdurur; bu da çoğunlukla birkaç terim içinde gerçekleşir. Motor IEEE-754 çift duyarlıklı aritmetik kullandığından, görüntüleme ayarınız ne olursa olsun yaklaşık 15-16 anlamlı basamak güvenilir biçimde doğrudur.
Formülün açıklaması
Ramanujan 1, pi'nin tersini (1/pi) oluşturur: sabit bir öncül çarpan olan \(\sqrt{8}/9801\), n. terimi \((4n)!/(4^n n!)^4\) faktöriyel oranını \((1103 + 26390n)\) doğrusal çarpanıyla birleştirip \(99^{4n}\) ile bölen sonsuz bir toplamla çarpılır.
$$\frac{1}{\pi} = \frac{\sqrt{8}}{9801} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(4n)!}{(4^n n!)^4} \cdot \frac{1103 + 26390n}{99^{4n}}$$Toplam \(S\) bulunduğunda pi, \(1/(\text{öncül çarpan} \times S)\) olarak geri elde edilir. Chudnovsky de benzer şekilde çalışır ancak daha da hızlı yakınsar ve her terimde yaklaşık 14 basamak ekler.
$$\frac{1}{\pi} = 12 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (6n)!\,(13591409 + 545140134n)}{(3n)!\,(n!)^3\,(640320^3)^{n+1/2}}$$
Örnek hesaplama
Ramanujan 1 ile yalnızca n=0 terimini kullanalım: öncül çarpan \(\sqrt{8}/9801 = 0{,}000288583\ldots\) ve n=0 terimi \(1 \times 1103 = 1103\)'tür. Buna göre
$$\frac{1}{\pi} = 0{,}000288583 \times 1103 = 0{,}31831\ldots$$olur ve \(\pi = 3{,}14159273\) elde edilir; bu zaten yaklaşık altı ondalık basamağa kadar doğrudur. n=1 terimi de eklendiğinde pi, yaklaşık 16 basamağa kadar doğru olan \(3{,}14159265358979\) değerine ulaşır.
Sıkça Sorulan Sorular
Basamak sayısını artırmam neden daha fazla doğruluk göstermiyor? Çift duyarlıklı kayan nokta aritmetiği yalnızca yaklaşık 15-16 anlamlı basamak taşır; bundan fazlasına ulaşmak için keyfi duyarlıklı (arbitrary-precision) aritmetik gerekir.
Gerçekte kaç terime ihtiyacım var? Tam çift duyarlık için Ramanujan 1 yaklaşık 2 terim, Chudnovsky ise yalnızca 1-2 terim ister.
Hangi seri en hızlısı? En hızlı yakınsayan seri Chudnovsky'dir ve modern pi rekor hesaplamalarında kullanılan algoritma da budur.
