Sonsuz geometrik seri nedir?
Sonsuz geometrik seri, her terimin bir öncekinin ortak çarpan (r) adı verilen sabit bir sayıyla çarpılmasıyla elde edildiği, sonu olmayan bir toplamdır: \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\) . Ortak çarpanın mutlak değeri yeterince küçük olduğunda (\(|r| < 1\)), terimler sıfıra doğru hızla küçülür ve toplam tek bir sonlu değere yaklaşır. Bu hesaplayıcı, söz konusu limit değerini anında bulur.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
İlk terim olan a ile ortak çarpan r değerini girin; toplamı anında görün. Eğer \(|r| \ge 1\) ise, hesaplayıcı serinin ıraksadığını bildirir — terimler sıfıra küçülmediği için sonlu bir toplamı yoktur.
Formülün açıklaması
Kapalı formdaki toplam $$S = \frac{\text{First term }(a)}{1 - \text{Common ratio }(r)}, \quad \left|\,r\,\right| < 1$$ şeklindedir ve yalnızca \(|r| < 1\) olduğunda geçerlidir. Bu ifade, sonlu kısmi toplam olan \(S_n = a(1 - r^n)/(1 - r)\) bağıntısından gelir. n sınırsızca büyüdükçe, \(|r| < 1\) olduğu sürece \(r^n \to 0\) olur ve geriye \(S = a/(1 - r)\) kalır. Eğer \(|r| \ge 1\) ise \(r^n\) terimi yok olmaz; bu durumda kısmi toplamlar ya sınırsızca büyür ya da salınır ve seri ıraksar.
Çözümlü örnek
\(a = 1\) ve \(r = 0{,}5\) olsun. \(|0{,}5| < 1\) olduğundan seri yakınsar. $$S = \frac{1}{1 - 0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2.$$ Yani \(1 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + \ldots = 2\).
Sıkça sorulan sorular
r negatifse ne olur? \(|r| < 1\) olduğu sürece formül yine geçerlidir. Örneğin \(a = 3\), \(r = -0{,}5\) için \(S = \frac{3}{1 - (-0{,}5)} = \frac{3}{1{,}5} = 2\).
Seri ne zaman ıraksar? \(|r| \ge 1\) olduğunda (örneğin \(r = 2\) veya \(r = -1\)). Terimler asla sıfıra küçülmediğinden sonlu bir toplam yoktur.
a = 0 olursa ne olur? Her terim sıfır olur, dolayısıyla toplam da sadece 0'dır.
