¿Qué es una serie geométrica infinita?
Una serie geométrica infinita es la suma sin fin de términos en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón (r): \(a + ar + ar^2 + ar^3 + \ldots\) . Cuando el valor absoluto de la razón es lo bastante pequeño (\(|r| < 1\)), los términos disminuyen hacia cero con la rapidez suficiente como para que el total se aproxime a un único valor finito. Esta calculadora obtiene ese límite al instante.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el primer término a y la razón r, y obtendrás la suma directamente. Si \(|r| \geq 1\), la calculadora te avisa de que la serie diverge: no tiene una suma finita porque los términos no tienden a cero.
La fórmula explicada
La fórmula cerrada de la suma es $$S = \frac{\text{First term }(a)}{1 - \text{Common ratio }(r)}$$ válida únicamente cuando \(|r| < 1\). Se deduce de la suma parcial finita \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\). A medida que n crece sin límite, \(r^n \to 0\) siempre que \(|r| < 1\), lo que deja \(S = \frac{a}{1 - r}\). Si \(|r| \geq 1\), el término \(r^n\) no se anula, de modo que las sumas parciales crecen sin límite u oscilan, y la serie diverge.
Ejemplo resuelto
Supongamos \(a = 1\) y \(r = 0{,}5\). Como \(|0{,}5| < 1\), la serie converge. $$S = \frac{1}{1 - 0{,}5} = \frac{1}{0{,}5} = 2$$ Por tanto, \(1 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + \ldots = 2\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si r es negativa? La fórmula sigue funcionando siempre que \(|r| < 1\). Para \(a = 3\) y \(r = -0{,}5\), $$S = \frac{3}{1 - (-0{,}5)} = \frac{3}{1{,}5} = 2$$
¿Cuándo diverge la serie? Siempre que \(|r| \geq 1\) (por ejemplo, \(r = 2\) o \(r = -1\)). Los términos nunca disminuyen hacia cero, así que no existe una suma finita.
¿Y si a = 0? Todos los términos valen cero, por lo que la suma es simplemente 0.
