¿Qué es la distribución geométrica?
La distribución geométrica modela el número de fallos que ocurren antes del primer éxito en una secuencia de ensayos independientes, cada uno con la misma probabilidad de éxito p. Esta calculadora utiliza la convención del «número de fallos antes del primer éxito», por lo que la variable aleatoria x toma los valores 0, 1, 2, ... y la función de masa de probabilidad es \(f(x,p) = p(1-p)^{x}\). Ten en cuenta que existe otra forma habitual que cuenta el número de ensayo k en el que se produce el primer éxito (k = 1, 2, ...); esa no es la que se emplea aquí, donde \(x = k - 1\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de fallos antes del primer éxito x (un número entero no negativo) y la probabilidad de éxito por ensayo p (un valor entre 0 y 1). La herramienta devuelve la masa de probabilidad \(f(x,p)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(X \le x)\), la probabilidad acumulada superior \(P(X \ge x)\) y la media (número esperado de fallos).
Las fórmulas explicadas
Sea \(q = 1 - p\). La masa de probabilidad es $$f(x,p) = p\cdot q^{x}.$$ La suma acumulada inferior se simplifica en una serie telescópica que da $$P(X \le x) = 1 - q^{x+1}.$$ La cola superior es $$P(X \ge x) = q^{x}.$$ La media es $$E[X] = \frac{1 - p}{p}.$$ Una identidad útil es \(P(X \le x) + P(X \ge x) = 1 + f(x,p)\), porque ambas colas incluyen el punto x.
Ejemplo resuelto
Con x = 2 y p = 0,4 (de modo que q = 0,6): $$f(2,\ 0{,}4) = 0{,}4 \cdot 0{,}6^{2} = 0{,}4 \cdot 0{,}36 = 0{,}144.$$ Acumulada inferior $$P(X \le 2) = 1 - 0{,}6^{3} = 1 - 0{,}216 = 0{,}784.$$ Acumulada superior $$P(X \ge 2) = 0{,}6^{2} = 0{,}36.$$ Media \(= 0{,}6/0{,}4 = 1{,}5\). Comprobación: \(0{,}784 + 0{,}36 - 0{,}144 = 1{,}000\).
Preguntas frecuentes
¿Cuenta x el ensayo exitoso? No. Aquí x solo cuenta los fallos antes del primer éxito, así que x empieza en 0. Si dispones del número de ensayo k del primer éxito, utiliza \(x = k - 1\).
¿Qué ocurre cuando p = 1? El éxito está garantizado en el primer ensayo: \(f(0,1) = 1\), \(f(x,1) = 0\) para \(x \ge 1\), y la media es 0.
¿Por qué la media no está definida cuando p = 0? Si ningún ensayo tiene éxito jamás, el número esperado de fallos es infinito, por lo que la fórmula \((1 - p)/p\) implicaría dividir entre cero.
