Qué hace esta calculadora
Esta herramienta devuelve el percentil (cuantil) de la distribución geométrica: a partir de una probabilidad acumulada y de la probabilidad de éxito por ensayo p, encuentra el valor x. En esta versión, la distribución geométrica cuenta el número de fracasos antes del primer éxito, definida sobre x = 0, 1, 2, 3, .... Su función de masa de probabilidad es \(f(x, p) = p(1 - p)^{x}\).
Las dos convenciones acumuladas
Puedes trabajar desde cualquiera de las dos colas. La acumulada inferior \(P(x, p) = 1 - (1 - p)^{x+1}\) es la probabilidad de como mucho x fracasos. La acumulada superior \(Q(x, p) = (1 - p)^{x}\) es la probabilidad de al menos x fracasos. Elige el modo que corresponda e introduce esa probabilidad.
La fórmula explicada
Sea \(q = 1 - p\). Al invertir la CDF inferior: \(1 - q^{x+1} = P\) obtenemos $$x = \left\lceil \frac{\ln\!\left(1 - \text{Probabilidad Acumulada}\right)}{\ln\!\left(1 - \text{Probabilidad de éxito } p\right)} - 1 \right\rceil$$ Al invertir la CDF superior: \(q^{x} = Q\) obtenemos $$x = \left\lceil \frac{\ln\!\left(\text{Probabilidad Acumulada}\right)}{\ln\!\left(1 - \text{Probabilidad de éxito } p\right)} \right\rceil$$ Como x debe ser un número entero de fracasos, el percentil que se muestra es \(\lceil x \rceil\), acotado para que sea al menos 0. También se muestra la solución continua de valor real para cálculos de mayor precisión.
Ejemplo resuelto
Modo inferior, P = 0,8, p = 0,4. Entonces \(q = 0{,}6\), \(\ln(0{,}6) = -0{,}5108256\). $$x = \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}6)} - 1 = \frac{-1{,}6094379}{-0{,}5108256} - 1 = 3{,}151035 - 1 = 2{,}151035$$ Al redondear hacia arriba obtenemos el percentil entero x = 3. Comprobación: \(P(3) = 1 - 0{,}6^{4} = 0{,}8704 \ge 0{,}8\), mientras que \(P(2) = 0{,}784 < 0{,}8\), lo que confirma x = 3.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el redondeo hacia arriba (ceil) da el percentil? El cuantil entero es el menor x cuya probabilidad acumulada alcanza el objetivo, así que redondeamos hacia arriba la solución continua.
¿Qué pasa si p = 0 o p = 1? Con p = 0 el éxito nunca ocurre, por lo que el cuantil queda indefinido/infinito. Con p = 1 toda la masa se concentra en x = 0, así que el cuantil es 0.
¿Puede P valer exactamente 1? Ningún x finito alcanza P = 1 en el modo inferior (la CDF solo se aproxima a 1), por lo que esa entrada se reporta como indefinida.
