¿Qué es la calculadora de percentil de la distribución de Lévy?
La distribución de Lévy es una distribución de probabilidad continua, de cola pesada, definida para valores mayores que su parámetro de posición mu. Se caracteriza por dos parámetros: la posición mu (cualquier número real) y la escala c (que debe ser positiva). Esta calculadora resuelve el problema inverso: a partir de una probabilidad, devuelve el percentil (cuantil) x — es decir, el valor de la variable aleatoria en el que la función de distribución acumulada alcanza esa probabilidad.
Cómo usarla
Introduce una probabilidad estrictamente comprendida entre 0 y 1. Indica si esa probabilidad es una probabilidad acumulada inferior P(x) o una probabilidad acumulada superior Q(x) = 1 - P(x). A continuación, escribe el parámetro de posición mu y el parámetro de escala c (c debe ser mayor que 0). La calculadora devuelve x. Si eliges la opción superior, la herramienta convierte primero a la probabilidad inferior mediante \(P = 1 - Q\).
La fórmula explicada
La función de distribución acumulada de Lévy es \(P(x) = \operatorname{erfc}\!\left(\sqrt{\dfrac{c}{2(x - \mu)}}\right)\), donde erfc es la función de error complementaria. Al invertirla se obtiene
$$x = \mu + \frac{c}{2\left[\operatorname{erf}^{-1}(1-p)\right]^{2}}$$La calculadora evalúa la función de error inversa con una aproximación racional de alta precisión, refinada mediante iteración de Newton, por lo que no necesita ninguna librería externa.
Ejemplo resuelto
Para probabilidad = 0,5 (inferior), mu = 0, c = 1: \(\operatorname{erfc}^{-1}(0{,}5) = \operatorname{inverseErf}(0{,}5) \approx 0{,}476936\). Al elevarlo al cuadrado obtenemos \(\approx 0{,}227468\), de modo que
$$x = 0 + \frac{1}{2 \times 0{,}227468} \approx 2{,}1981$$Este es la mediana de la distribución de Lévy estándar.
Preguntas frecuentes
¿Por qué la probabilidad debe estar estrictamente entre 0 y 1? Cuando p se acerca a 0 el percentil tiende a infinito, y cuando p se acerca a 1 colapsa hacia mu, por lo que se excluyen los extremos.
¿Qué significa la opción superior? Trata tu valor como la probabilidad de la cola derecha Q(x); internamente la calculadora usa \(P = 1 - Q\). Resulta muy práctica para preguntas relacionadas con el riesgo de cola.
¿Por qué los percentiles altos son tan grandes? La distribución de Lévy tiene una cola derecha muy pesada (su media es infinita), por lo que incluso un percentil inferior 90 puede ser muchas veces mayor que la mediana.
