¿Qué es la calculadora de percentiles de la distribución de Laplace?
Esta herramienta calcula el percentil, o cuantil, de una distribución de Laplace (también conocida como distribución exponencial doble). A partir de una probabilidad acumulada, devuelve el valor x en el que se alcanza dicha probabilidad. Es una herramienta matemática universal que funciona de forma idéntica en cualquier lugar, sin supuestos propios de ningún país.
La distribución de Laplace tiene un parámetro de localización \(a\) (su media y mediana) y un parámetro de escala \(b\) (\(b > 0\)). Su densidad de probabilidad es $$f(x) = \frac{1}{2b}\cdot\exp\!\left(-\frac{|x-a|}{b}\right),$$ lo que genera un pico pronunciado en \(a\) y colas exponenciales simétricas. La varianza es igual a \(2b^2\).
Cómo utilizarla
Introduce el parámetro de localización \(a\), el parámetro de escala \(b\) (debe ser positivo), elige si tu probabilidad es una probabilidad acumulada inferior \(P = \Pr(X \le x)\) o una probabilidad acumulada superior \(Q = \Pr(X > x)\), e introduce ese valor estrictamente entre 0 y 1. La calculadora te devolverá el cuantil \(x\).
La fórmula explicada
La CDF de Laplace es \(P(x) = 0{,}5\cdot\exp\!\left(\frac{x-a}{b}\right)\) cuando \(x < a\), y \(P(x) = 1 - 0{,}5\cdot\exp\!\left(-\frac{x-a}{b}\right)\) cuando \(x \ge a\). Al invertirla se obtiene la función cuantil: $$x = \begin{cases} a + b\,\ln(2P), & P \le 0.5 \\[1em] a - b\,\ln\!\left(2(1-P)\right), & P > 0.5 \end{cases}$$ Cuando aportas una probabilidad superior \(Q\), la herramienta calcula primero \(P = 1 - Q\) y luego aplica la misma inversión. Ten en cuenta que \(P = 0{,}5\) siempre devuelve \(x = a\), ya que la mediana coincide con el parámetro de localización.
Ejemplo resuelto
Supongamos \(a = 0\), \(b = 1\) y una probabilidad inferior \(P = 0{,}75\). Como \(P > 0{,}5\), $$x = 0 - 1\cdot\ln(2\cdot 0{,}25) = -\ln(0{,}5) = \ln(2) \approx 0{,}6931471806.$$ Por tanto, el 75 % de la masa de probabilidad se sitúa en \(x \approx 0{,}693\) o por debajo.
Preguntas frecuentes
¿Por qué debe cumplirse \(0 < p < 1\)? A medida que \(p\) se acerca a 0, el cuantil tiende a menos infinito, y cuando \(p\) se acerca a 1 tiende a más infinito; por eso solo las probabilidades estrictamente interiores dan un resultado finito.
¿Y si tengo una probabilidad de la cola superior? Elige «Probabilidad acumulada superior \(Q\)»; la herramienta la convierte automáticamente mediante \(P = 1 - Q\).
¿Por qué la escala tiene que ser positiva? La escala \(b\) controla la dispersión y aparece en una división dentro de la estandarización, por lo que un valor \(b \le 0\) sería degenerado y se rechaza.
