Máy tính Phân vị Phân phối Laplace là gì?
Công cụ này tính phân vị, hay còn gọi là lượng vị, của phân phối Laplace (còn được biết đến với tên gọi phân phối mũ kép). Khi bạn nhập một xác suất tích lũy, nó sẽ trả về giá trị x mà tại đó xác suất ấy được đạt tới. Đây là một công cụ toán học dùng chung, cho kết quả giống nhau ở mọi nơi và không phụ thuộc vào quy định riêng của bất kỳ quốc gia nào.
Phân phối Laplace có tham số vị trí \(a\) (vừa là trung bình vừa là trung vị) và tham số tỷ lệ \(b\) (\(b > 0\)). Hàm mật độ xác suất của nó là $$f(x) = \frac{1}{2b}\cdot\exp\!\left(-\frac{|x-a|}{b}\right)$$ tạo nên một đỉnh nhọn tại \(a\) cùng hai đuôi mũ đối xứng. Phương sai bằng \(2b^2\).
Cách sử dụng
Nhập tham số vị trí \(a\), tham số tỷ lệ \(b\) (phải dương), chọn xem xác suất của bạn là xác suất tích lũy phía dưới \(P = \Pr(X \le x)\) hay xác suất tích lũy phía trên \(Q = \Pr(X > x)\), rồi nhập giá trị xác suất đó nằm hẳn trong khoảng từ 0 đến 1. Máy tính sẽ trả về lượng vị \(x\).
Giải thích công thức
Hàm CDF của phân phối Laplace là \(P(x) = 0{,}5\cdot\exp\!\left(\frac{x-a}{b}\right)\) khi \(x < a\), và \(P(x) = 1 - 0{,}5\cdot\exp\!\left(-\frac{x-a}{b}\right)\) khi \(x \ge a\). Nghịch đảo hàm này ta được hàm lượng vị: nếu \(P \le 0{,}5\) thì \(x = a + b\cdot\ln(2P)\); nếu \(P > 0{,}5\) thì \(x = a - b\cdot\ln(2(1-P))\). $$x = \begin{cases} a + b \ln\!\left(2P\right), & P \le 0.5 \\[1em] a - b \ln\!\left(2(1-P)\right), & P > 0.5 \end{cases}$$ Khi bạn cung cấp xác suất phía trên \(Q\), công cụ trước tiên đặt \(P = 1 - Q\) rồi áp dụng cùng phép nghịch đảo. Lưu ý rằng \(P = 0{,}5\) luôn cho ra \(x = a\), vì trung vị bằng đúng tham số vị trí.
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a = 0\), \(b = 1\), xác suất phía dưới \(P = 0{,}75\). Vì \(P > 0{,}5\) nên $$x = 0 - 1\cdot\ln(2\cdot 0{,}25) = -\ln(0{,}5) = \ln(2) \approx 0{,}6931471806.$$ Như vậy 75% khối xác suất nằm tại hoặc dưới mức \(x \approx 0{,}693\).
Câu hỏi thường gặp
Tại sao phải có \(0 < p < 1\)? Khi \(p\) tiến về 0, lượng vị phân kỳ về âm vô cực, còn khi \(p\) tiến về 1 thì phân kỳ về dương vô cực; do đó chỉ những giá trị xác suất nằm hẳn bên trong khoảng mới cho ra đáp án hữu hạn.
Nếu tôi có xác suất ở đuôi trên thì sao? Hãy chọn "Xác suất tích lũy phía trên Q"; công cụ sẽ tự động chuyển đổi qua công thức \(P = 1 - Q\).
Vì sao tham số tỷ lệ phải dương? Tham số tỷ lệ \(b\) điều khiển độ trải rộng và xuất hiện ở phép chia trong quá trình chuẩn hóa, nên \(b \le 0\) sẽ khiến phân phối suy biến và bị từ chối.
