Công cụ này làm gì
Phân phối logistic là một phân phối xác suất liên tục có hình dạng giống đường cong chuẩn (normal) nhưng có phần đuôi dày hơn. Nó được sử dụng rộng rãi trong hồi quy logistic, mô hình hóa tăng trưởng và phân tích độ tin cậy. Công cụ này giải bài toán nghịch đảo: cho trước một xác suất tích lũy, nó trả về điểm phân vị x (còn gọi là quantile) — nơi mà hàm phân phối tích lũy (CDF) của phân phối logistic đạt đến xác suất đó.
Cách sử dụng
Trước tiên, hãy chọn xác suất của bạn là giá trị tích lũy đuôi dưới \(P(X \le x)\) hay giá trị tích lũy đuôi trên \(P(X > x)\). Nhập xác suất dưới dạng một số nằm hoàn toàn trong khoảng từ 0 đến 1, sau đó nhập tham số vị trí \(a\) (chính là giá trị trung bình và trung vị) cùng tham số tỉ lệ \(b\), với điều kiện \(b\) phải lớn hơn 0. Công cụ sẽ trả về \(x\) cùng với xác suất đuôi dưới thực tế được dùng để tính và giá trị logit (log-odds) tương ứng.
Giải thích công thức
Hàm CDF của phân phối logistic là \(F(x) = 1 / (1 + e^{-(x-a)/b})\). Giải phương trình này theo \(x\) ta được hàm phân vị (quantile):
$$x = \text{a} + \text{b} \cdot \ln\!\left(\frac{\text{p}}{1 - \text{p}}\right)$$
Trong đó \(p\) là xác suất đuôi dưới. Nếu bạn nhập giá trị đuôi trên \(Q\), công cụ sẽ tự động chuyển đổi trước bằng công thức \(p = 1 - Q\). Biểu thức \(\ln(p / (1 - p))\) chính là logit, hay log-odds, của xác suất. Khi \(p = 0{,}5\) thì logit bằng 0, nên phân vị bằng đúng tham số vị trí \(a\) — điều này khẳng định \(a\) chính là trung vị.
Ví dụ minh họa
Giả sử probabilityType = đuôi dưới, probability = 0,9, a = 5, b = 2. Khi đó \(p / (1 - p) = 0{,}9 / 0{,}1 = 9\), và \(\ln(9) = 2{,}197224577\). Vậy $$x = 5 + 2 \times 2{,}197224577 = 9{,}394449.$$ Như vậy, phân vị thứ 90 của phân phối logistic này xấp xỉ 9,39.
Câu hỏi thường gặp
Điều gì xảy ra khi xác suất bằng 0,5? Phân vị chính xác bằng tham số vị trí \(a\), bởi vì phân phối logistic đối xứng quanh giá trị trung bình và trung vị của nó.
Tại sao xác suất phải nằm hoàn toàn trong khoảng từ 0 đến 1? Khi xác suất tiến dần về 0, phân vị tiến tới âm vô cùng; còn khi tiến dần về 1, phân vị tiến tới dương vô cùng. Do đó hai điểm đầu mút không có giá trị hữu hạn.
Tham số tỉ lệ b là gì? Nó quyết định độ phân tán của phân phối; \(b\) càng lớn thì đường cong càng dãn rộng. Độ lệch chuẩn bằng \(b\pi/\sqrt{3}\).
