Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Lojistik dağılım, normal dağılım eğrisine benzeyen ancak kuyrukları daha kalın olan sürekli bir olasılık dağılımıdır. Lojistik regresyon, büyüme modellemesi ve güvenilirlik analizi gibi alanlarda sıkça kullanılır. Bu araç ise ters problemi çözer: bir kümülatif olasılık verdiğinizde, lojistik kümülatif dağılım fonksiyonunun (CDF) bu olasılığa ulaştığı yüzdelik noktasını, yani x değerini (kuantil olarak da bilinir) döndürür.
Nasıl kullanılır?
Öncelikle olasılığınızın bir alt kümülatif değer \(P(X \le x)\) mi yoksa bir üst kümülatif değer \(P(X > x)\) mi olduğunu seçin. Olasılığı kesinlikle 0 ile 1 arasında bir sayı olarak girin, ardından konum parametresi \(a\) (ortalama ve medyan) ile 0'dan büyük olması gereken ölçek parametresi \(b\) değerini belirtin. Hesaplayıcı, x değerinin yanı sıra gerçekte kullanılan alt kuyruk olasılığını ve onun logit (log-olabilirlik) değerini de verir.
Formülün açıklaması
Lojistik CDF şu şekilde tanımlanır: \(F(x) = 1 / (1 + e^{-(x-a)/b})\). Bu denklemi x için çözdüğümüzde kuantil fonksiyonunu elde ederiz:
$$x = \text{a} + \text{b} \cdot \ln\!\left(\frac{\text{p}}{1 - \text{p}}\right)$$
Burada p, alt kuyruk olasılığıdır. Eğer üst kuyruk değeri Q girdiyseniz, hesaplayıcı bunu önce \(p = 1 - Q\) ile dönüştürür. \(\ln(p / (1 - p))\) terimi, olasılığın logit'i, yani log-olabilirlik (log-odds) değeridir. \(p = 0{,}5\) olduğunda logit 0 olur; dolayısıyla kuantil tam olarak konum \(a\) değerine eşit çıkar. Bu da a'nın medyan olduğunu doğrular.
Örnek çözüm
Diyelim ki probabilityType = lower (alt), probability = 0,9, a = 5 ve b = 2. Bu durumda \(p / (1 - p) = 0{,}9 / 0{,}1 = 9\) ve \(\ln(9) = 2{,}197224577\) olur. Buradan $$x = 5 + 2 \times 2{,}197224577 = 9{,}394449$$ bulunur. Yani bu lojistik dağılımın 90. yüzdeliği yaklaşık 9,39'dur.
Sıkça sorulan sorular
Olasılık 0,5 olduğunda ne olur? Kuantil tam olarak konum \(a\) değerine eşittir; çünkü lojistik dağılım, ortalaması ve medyanı etrafında simetriktir.
Olasılık neden kesinlikle 0 ile 1 arasında olmalı? Olasılık 0'a yaklaştıkça kuantil eksi sonsuza, 1'e yaklaştıkça artı sonsuza gider. Bu nedenle uç noktaların sonlu bir değeri yoktur.
Ölçek parametresi b nedir? Dağılımın yayılımını kontrol eder; b büyüdükçe eğri daha geniş olur. Standart sapma \(b\pi/\sqrt{3}\) değerine eşittir.
