Lojistik dağılım nedir?
Lojistik dağılım, normal dağılıma benzeyen ancak daha kalın (ağır) kuyruklara sahip sürekli bir olasılık dağılımıdır. Bir konum parametresi a (dağılımın hem ortalamasına hem de medyanına eşittir) ve bir ölçek parametresi b > 0 ile tanımlanır. Birikimli dağılım fonksiyonu, herkesin tanıdığı lojistik sigmoid eğrisidir; dağılımın lojistik regresyonda, büyüme modellemesinde ve makine öğreniminde sıkça karşımıza çıkmasının nedeni de budur. Bu hesaplama aracı tamamen matematikseldir ve ülkeye özgü herhangi bir varsayım içermeden her yerde aynı şekilde geçerlidir.
Bu araç nasıl kullanılır?
Önce hangi fonksiyonu hesaplamak istediğinizi seçin: olasılık yoğunluğu f, alt birikimli olasılık P (yani CDF) veya üst birikimli olasılık Q (sağkalım fonksiyonu). Ardından konum a ile ölçek b değerlerini girin. Sonra x ızgarasını tanımlayın: başlangıç x değeri, adım miktarı ve nokta sayısı. Araç, \(i = 0..\text{nokta}-1\) için \(x_i = \text{başlangıçX} + i\cdot\text{adımX}\) değerlerini üretir, seçtiğiniz fonksiyonu her noktada hesaplar, ilk x'teki ana değeri gösterir, tüm seriyi listeler ve bir çizgi grafiği çizer.
Formülün açıklaması
Standartlaştırılmış değişkeni \(z = (x - a)/b\) ve \(E = e^{-z}\) olarak tanımlayalım. Yoğunluk $$f = \frac{1}{b}\cdot\frac{E}{(1+E)^2}$$ şeklindedir. Sigmoidi \(\sigma = 1/(1+E)\) olarak yazarsak, bu ifade \(\sigma(1-\sigma)/b\)'ye eşit olur. Alt CDF doğrudan $$P = \sigma = \frac{1}{1+e^{-z}}$$ olup 0'dan 1'e doğru tekdüze (monoton) artar; üst (sağkalım) fonksiyonu ise \(Q = 1 - P\)'dir. Taşmayı (overflow) önlemek için sigmoid, \(z \geq 0\) olduğunda \(1/(1+e^{-z})\), \(z < 0\) olduğunda ise \(e^z/(1+e^z)\) biçiminde hesaplanır.
Çözümlü örnek
\(a = 0\) ve \(b = 0{,}7\) için \(x = 0{,}7\) noktasında hesaplayalım. Bu durumda \(z = 1\) ve \(E = e^{-1} = 0{,}367879\) olur. Yoğunluk $$f = \frac{1}{0{,}7}\cdot\frac{0{,}367879}{(1{,}367879)^2} \approx 0{,}28087.$$ Alt CDF $$P = \frac{1}{1{,}367879} \approx 0{,}73106.$$ Üst CDF \(Q = 1 - 0{,}73106 \approx 0{,}26894\). Medyan \(x = a = 0\) noktasında ise tepe yoğunluğu \(1/(4b) = 0{,}35714\) değerini alır ve \(P = Q = 0{,}5\) olur.
Sıkça sorulan sorular
b sıfır veya negatif olursa ne olur? Dağılım tanımsız hale gelir; araç \(b > 0\) koşulunu zorunlu tutar ve aksi halde hata döndürür.
Ortalama ve varyans nedir? Ortalama (ve medyan) a'ya eşittir, varyans ise \((\pi^2/3)\cdot b^2\) olarak hesaplanır.
Azalan bir ızgara kullanabilir miyim? Evet — negatif bir adım, x değerlerinin azalmasını sağlar; 0 adımı ise her noktayı başlangıç x değerinde hesaplar.
