Qu'est-ce que la loi logistique ?
La loi logistique est une loi de probabilité continue dont la forme rappelle celle de la loi normale, mais avec des queues plus épaisses. Elle est caractérisée par un paramètre de position a (qui correspond à la fois à sa moyenne et à sa médiane) et un paramètre d'échelle b > 0. Sa fonction de répartition n'est autre que la sigmoïde logistique bien connue, ce qui explique sa présence dans la régression logistique, la modélisation de la croissance et l'apprentissage automatique. Ce calculateur relève des mathématiques pures : il s'applique de manière identique partout, sans aucune hypothèse propre à un pays.
Comment utiliser ce calculateur
Choisissez la fonction à calculer : la densité de probabilité f, la probabilité cumulée inférieure P (la FdR) ou la probabilité cumulée supérieure Q (la fonction de survie). Saisissez la position a et l'échelle b. Décrivez ensuite la grille des x : la valeur initiale, le pas et le nombre de points. L'outil génère \(x_i = x_0 + i\cdot\text{pas}\) pour \(i = 0..\text{points}-1\), évalue la fonction choisie en chaque point, affiche la valeur de tête au premier x, dresse la liste de la série et trace une courbe.
La formule expliquée
Posons la variable centrée réduite \(z = (x - a)/b\) et \(E = e^{-z}\). La densité vaut $$f = \frac{1}{b}\cdot\frac{E}{(1+E)^{2}}.$$ En notant la sigmoïde \(\sigma = 1/(1+E)\), cela revient à \(\sigma(1-\sigma)/b\). La FdR inférieure est tout simplement $$P = \sigma = \frac{1}{1+e^{-z}},$$ qui croît de façon monotone de 0 à 1, et la fonction de survie (supérieure) est \(Q = 1 - P\). Pour éviter tout dépassement de capacité, la sigmoïde est calculée comme \(1/(1+e^{-z})\) lorsque \(z \geq 0\) et comme \(e^z/(1+e^z)\) lorsque \(z < 0\).
Exemple résolu
Avec \(a = 0\) et \(b = 0{,}7\), évaluons en \(x = 0{,}7\). On a alors \(z = 1\) et \(E = e^{-1} = 0{,}367879\). La densité $$f = \frac{1}{0{,}7}\cdot\frac{0{,}367879}{(1{,}367879)^{2}} \approx 0{,}28087.$$ La FdR inférieure \(P = 1/1{,}367879 \approx 0{,}73106\). La FdR supérieure \(Q = 1 - 0{,}73106 \approx 0{,}26894\). À la médiane \(x = a = 0\), on obtient la densité maximale \(1/(4b) = 0{,}35714\) et \(P = Q = 0{,}5\).
FAQ
Que se passe-t-il si b est nul ou négatif ? La loi n'est pas définie ; le calculateur exige \(b > 0\) et renvoie une erreur dans le cas contraire.
Quelles sont la moyenne et la variance ? La moyenne (et la médiane) vaut \(a\), et la variance est \((\pi^{2}/3)\cdot b^{2}\).
Puis-je utiliser une grille décroissante ? Oui — un pas négatif produit des valeurs de x décroissantes, et un pas de 0 évalue chaque point à la valeur initiale de x.
