À quoi sert le calculateur de loi de Student ?
Cet outil évalue la loi de Student pour une valeur x donnée (la statistique t) et un nombre de degrés de liberté \(\nu\). Il fournit trois résultats : la densité de probabilité \(f(x)\), la probabilité cumulée inférieure \(P(T \le x)\) et la probabilité cumulée supérieure \(Q = P(T > x) = 1 - P\). Il s'agit de mathématiques pures, valables partout : aucune règle propre à un pays n'intervient.
Comment l'utiliser
Saisissez un nombre réel quelconque pour x (il peut être négatif) et un nombre positif pour les degrés de liberté \(\nu\) (souvent un entier comme 5, 10 ou 30, mais toute valeur \(\nu > 0\) est acceptée). Cliquez sur « Calculer » pour obtenir la densité et les deux probabilités de queue. À mesure que \(\nu\) augmente, la loi converge vers la loi normale centrée réduite \(N(0, 1)\).
La formule expliquée
La densité s'écrit
$$f(\text{x}) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{\text{x}^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$où \(\Gamma\) désigne la fonction gamma. La probabilité cumulée fait appel à la fonction bêta incomplète régularisée : en posant \(z = \nu/(\nu + \text{x}^2)\), on a \(P(T \le x) = 1 - \tfrac{1}{2}\,I_z(\nu/2, 1/2)\) pour \(x \ge 0\) et \(\tfrac{1}{2}\,I_z(\nu/2, 1/2)\) pour \(x < 0\). Nous calculons la densité dans l'espace logarithmique à l'aide d'une approximation de Lanczos du logarithme de la fonction gamma, et la fonction bêta incomplète via une fraction continue de Lentz, pour garantir la stabilité numérique.
Exemple résolu
Pour \(x = 1{,}0\) et \(\nu = 10\) : la densité vaut \(f(1) \approx 0{,}2304\). La probabilité cumulée inférieure \(P(T \le 1{,}0) \approx 0{,}8303\), d'où une probabilité cumulée supérieure \(Q \approx 0{,}1697\), ce qui correspond aux tables de Student usuelles.
FAQ
\(\nu\) peut-il être non entier ? Oui. La formule est valable pour tout réel \(\nu > 0\) ; le calculateur accepte les degrés de liberté décimaux.
Que signifie la probabilité cumulée supérieure ? C'est l'aire de la queue de droite, \(P(T > x)\). Pour une valeur p bilatérale avec un x positif, on utilise \(2\cdot Q\).
Pourquoi la courbe ressemble-t-elle à une loi normale pour les grands \(\nu\) ? Lorsque les degrés de liberté augmentent, les queues épaisses de la loi de Student s'amincissent et celle-ci tend vers la loi normale centrée réduite.
