什麼是學生 t 分配計算器？
這個工具會根據你輸入的數值 x（即 t 統計量）與自由度 \(\nu\)，計算學生 t 分配的相關數值。它會回傳三個結果：機率密度 \(f(x)\)、下尾累積機率 \(P(T \le x)\)，以及上尾累積機率 \(Q = P(T > x) = 1 - P\)。由於這完全屬於純數學運算，因此放諸四海皆準，不受任何地區或國家的規定影響。
使用方法
在 x 欄位輸入任意實數（可以是負數），並在自由度 \(\nu\) 欄位輸入一個正數（常見的是整數，例如 5、10 或 30，但只要 \(\nu > 0\) 的任何數值都可以接受）。按下計算後，即可得到機率密度與兩側尾端的機率值。當自由度 \(\nu\) 越來越大時，t 分配會逐漸收斂為標準常態分配 \(N(0, 1)\)。
公式解析
機率密度的公式為 $$f(\text{x}) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left(1 + \frac{\text{x}^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$$ 其中 \(\Gamma\) 為伽瑪函數（gamma function）。累積機率則運用正規化不完全 beta 函數來計算：令 \(z = \nu/(\nu + \text{x}^{2})\)，當 \(x \ge 0\) 時 \(P(T \le x) = 1 - \tfrac{1}{2}\cdot I_{z}(\nu/2, 1/2)\)；當 \(x < 0\) 時則為 \(\tfrac{1}{2}\cdot I_{z}(\nu/2, 1/2)\)。為了確保數值穩定，我們以 Lanczos 對數伽瑪近似法在對數空間中計算密度，並透過 Lentz 連分數法求出不完全 beta 函數。
實際範例
以 \(x = 1.0\)、\(\nu = 10\) 為例：機率密度 \(f(1) \approx 0.2304\)。下尾累積機率 \(P(T \le 1.0) \approx 0.8303\)，因此上尾累積機率 \(Q \approx 0.1697\)，這個結果與標準的 t 分配表完全吻合。
常見問題
自由度 \(\nu\) 可以是非整數嗎？可以。這個公式對任何 \(\nu > 0\) 的實數都成立，本計算器也接受帶有小數的自由度。
上尾累積機率代表什麼意思？它指的是右側尾端的面積，也就是 \(P(T > x)\)。如果你要計算正值 x 的雙尾 p 值，則應使用 \(2\cdot Q\)。
為什麼自由度很大時，曲線看起來像常態分配？隨著自由度增加，t 分配那較厚的尾端會逐漸收縮，使整體形狀趨近於標準常態分配。
