這個計算器的功能
這是一款以二項分布為核心的純數學機率工具。它能告訴你：在 \(n\) 次互相獨立的試驗中，若每次試驗成功的機率為 \(p\)，那麼某個特定結果恰好出現 \(m\) 次的可能性有多高。最經典的例子就是擲一顆公正的六面骰：每擲一次，指定的某一面出現的機率都是 \(p = 1/6\)。不過這套數學是通用的——只要每次試驗的成功機率落在 0 到 1 之間都適用，舉凡擲硬幣、罰球命中、產品瑕疵率等情境皆可套用。
使用方式
請輸入試驗次數 n（1 到 500）、每次試驗的成功機率 p，以及目標成功次數 m。p 可以輸入小數，例如 0.1667，也可以輸入分數，例如 1/6，計算器會自動將分數換算為小數。請特別注意：p 是介於 0 到 1 之間的機率，不是百分比——要輸入 1/6，而不是 16.67。計算結果會顯示 \(P(X = m)\)，並附上完整的分布表，列出 m 從 0 到 n 的每一個 \(P(X = m)\)、累積機率 \(P(X \le m)\) 與 \(P(X \ge m)\)、平均數，以及變異數。
公式說明
恰好成功 m 次的機率為
$$P(X = m) = \binom{n}{m} \cdot p^{m} \cdot (1 - p)^{n - m}$$其中 \(\binom{n}{m} = \dfrac{n!}{m!\,(n - m)!}\) 是二項係數（即「從 n 個中選 m 個」）。平均數為 \(\mu = n\cdot p\)，變異數為 \(\sigma^{2} = n\cdot p\cdot (1 - p)\)。當 n 很大時，計算器會改用對數伽瑪函數（log-gamma）在對數空間中運算，以避免階乘數值溢位。
實例演算
擲骰 \(n = 10\) 次，某個指定的面恰好出現 \(m = 2\) 次的機率是多少？此處 \(p = 1/6\)。\(\binom{10}{2} = 45\)，\(p^{2} = 1/36 \approx 0.027778\)，而 \((5/6)^{8} \approx 0.232557\)。因此
$$P(X = 2) = 45 \times 0.027778 \times 0.232557 \approx 0.29071$$約為 29.07%。平均數為 \(10/6 \approx 1.667\)，變異數為 \(10 \times (1/6) \times (5/6) \approx 1.389\)。
常見問題
p 是百分比嗎？不是。p 是介於 0 到 1 之間的機率。以骰子的某一面為例，請輸入 1/6 或約 0.1667，而不是 16.67。
「至少出現一次」的機率怎麼算？使用 \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\)。以擲 3 顆骰子、出現某個指定面為例：\(1 - (5/6)^{3} = 1 - 0.578704 \approx 0.4213\)，約為 42.13%。
為什麼表中所有機率加起來等於 1？每次完整的試驗，成功次數必定是 0 到 n 之間的某個值，因此這些互斥結果的機率總和必然恰好等於 1——這正好可以拿來檢驗計算是否正確。
